Dois engenheiros estão analisando dados de um teste em degrau de um biorreator. O Engenheiro A afirma que os dados indicam um processo superamortecido de segunda ordem, com constantes de tempo de 2 e 6 minutos, mas sem atraso de tempo. Enquanto isso, o Engenheiro B insiste que o melhor ajuste é um modelo FOPTD, com
e
.
Ambos os engenheiros afirmam que um controlador proporcional pode ser ajustado com um valor elevado de
para controlar o processo e que a estabilidade não é um problema. Com base em seus modelos, quem está certo, quem está errado e por quê? Use um argumento baseado na resposta em frequência.
Ambos os engenheiros afirmam que um controlador proporcional pode ser ajustado com um valor elevado de
Passo 1
Beleza, temos dois engenheiros com dois modelos diferentes do mesmo teste em degrau num biorreator:
- Engenheiro A diz que é um sistema de segunda ordem superamortecido, polos reais em
min e min, sem atraso. - Engenheiro B diz que o melhor é um FOPTD (First Order Plus Time Delay) com constante de tempo
min e atraso min.
Matéria envolvida: resposta em frequência (Bode), margem de fase e estabilidade com controlador proporcional puro.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Escrever as funções de transferência de cada modelo.
- Traçar (ou analisar) o diagrama de Bode para ver a quantidade de fase que cada modelo “come” até o crossover de ganho.
- Entender que controlador proporcional só mexe na magnitude, não na fase, e que estabilizar (ou não) depende da margem de fase.
Passo 2
Funções de transferência em malha aberta (sem
):
- Modelo A (2ª ordem superamortecido):
- Modelo B (FOPTD):
Ao adicionar um ganho proporcional
, a malha fica
. No diagrama de Bode, aumentar
só sobe a curva de magnitude, a fase permanece igual.
Passo 3
Teoria da margem de fase:
- Identificamos a frequência de cruzamento de ganho (onde
, ou 0 dB). - Leio a fase
do sistema naquele . - A margem de fase é
. Se for negativa, malha fechada instabiliza.
Importante: se o sistema em aberto já “mordeu” mais de
antes do crossover, não podemos elevar
muito sem perder estabilidade.
Passo 4
Analisando o comportamento de fase:
- Modelo A: dois polos reais produzem juntas até
de fase em altas frequências. Ou seja, se eu elevar demais, o crossover vai para uma faixa onde a fase está perto de , dando margem de fase quase zero ou negativa. - Modelo B: um polo dá até
+ o atraso de min traz fase extra de . Em frequências moderadas o atraso já tira mais uns ou . No total também passa de em frequências de cruzamento alto.
Em ambos os casos, se
for “muito grande”, o crossover vai para frequências em que a fase total
satisfaz
, ou seja, torna a margem de fase negativa e a malha fecha instável.
Passo 5
Quem errou e quem acertou:
- Engenheiro A errou no modelo, porque ignorou o atraso de tempo e subestimou a fase extra do sistema real. Por isso ele superestimou a margem de fase e achou que dava para colocar
grande. - Engenheiro B está mais próximo da realidade ao incluir o atraso (
min), então seu modelo é mais correto.
Mas nenhum dos dois está certo ao dizer que “estabilidade não é um problema com
alto” — pelo contrário, tanto no modelo A quanto no B a margem de fase se torna negativa se o ganho for levado muito para cima.
Resposta
O modelo do Engenheiro B (FOPTD com atraso) é mais realista, enquanto o Engenheiro A errou ao descartar o atraso e superestimar a fase disponível. Além disso, em ambos os modelos um
muito grande faz o crossover ocorrer em região de fase abaixo de
, ou seja, empurra a margem de fase para valores negativos e causa instabilidade.