Dois engenheiros estão analisando dados de um teste em degrau de um biorreator. O Engenheiro A afirma que os dados indicam um processo superamortecido de segunda ordem, com constantes de tempo de 2 e 6 minutos, mas sem atraso de tempo. Enquanto isso, o Engenheiro B insiste que o melhor ajuste é um modelo FOPTD, com tau=7 min e theta=1 min.
Ambos os engenheiros afirmam que um controlador proporcional pode ser ajustado com um valor elevado de Kc para controlar o processo e que a estabilidade não é um problema. Com base em seus modelos, quem está certo, quem está errado e por quê? Use um argumento baseado na resposta em frequência.

Passo 1

Beleza, temos dois engenheiros com dois modelos diferentes do mesmo teste em degrau num biorreator:
  • Engenheiro A diz que é um sistema de segunda ordem superamortecido, polos reais em min e min, sem atraso.
  • Engenheiro B diz que o melhor é um FOPTD (First Order Plus Time Delay) com constante de tempo min e atraso min.
Matéria envolvida: resposta em frequência (Bode), margem de fase e estabilidade com controlador proporcional puro.
O que vamos precisar:
  1. Escrever as funções de transferência de cada modelo.
  2. Traçar (ou analisar) o diagrama de Bode para ver a quantidade de fase que cada modelo “come” até o crossover de ganho.
  3. Entender que controlador proporcional só mexe na magnitude, não na fase, e que estabilizar (ou não) depende da margem de fase.

Passo 2

Funções de transferência em malha aberta (sem GA(s) = 1(1+2s),(1+6s) ):
  • Modelo A (2ª ordem superamortecido): GB(s) = 11+7s;e^-scdot1
  • Modelo B (FOPTD):
Ao adicionar um ganho proporcional , a malha fica . No diagrama de Bode, aumentar só sobe a curva de magnitude, a fase permanece igual.

Passo 3

Teoria da margem de fase:
  • Identificamos a frequência de cruzamento de ganho (onde , ou 0 dB).
  • Leio a fase do sistema naquele .
  • A margem de fase é . Se for negativa, malha fechada instabiliza.
Importante: se o sistema em aberto já “mordeu” mais de antes do crossover, não podemos elevar muito sem perder estabilidade.

Passo 4

Analisando o comportamento de fase:
  • Modelo A: dois polos reais produzem juntas até de fase em altas frequências. Ou seja, se eu elevar demais, o crossover vai para uma faixa onde a fase está perto de , dando margem de fase quase zero ou negativa.
  • Modelo B: um polo dá até + o atraso de min traz fase extra de . Em frequências moderadas o atraso já tira mais uns ou . No total também passa de em frequências de cruzamento alto.
Em ambos os casos, se for “muito grande”, o crossover vai para frequências em que a fase total satisfaz , ou seja, torna a margem de fase negativa e a malha fecha instável.

Passo 5

Quem errou e quem acertou:
  • Engenheiro A errou no modelo, porque ignorou o atraso de tempo e subestimou a fase extra do sistema real. Por isso ele superestimou a margem de fase e achou que dava para colocar grande.
  • Engenheiro B está mais próximo da realidade ao incluir o atraso ( min), então seu modelo é mais correto.
Mas nenhum dos dois está certo ao dizer que “estabilidade não é um problema com alto” — pelo contrário, tanto no modelo A quanto no B a margem de fase se torna negativa se o ganho for levado muito para cima.

Resposta

O modelo do Engenheiro B (FOPTD com atraso) é mais realista, enquanto o Engenheiro A errou ao descartar o atraso e superestimar a fase disponível. Além disso, em ambos os modelos um muito grande faz o crossover ocorrer em região de fase abaixo de , ou seja, empurra a margem de fase para valores negativos e causa instabilidade.

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