Dois enrolamentos, um montado em um estator e o outro, em um rotor, têm indutâncias próprias e mútuas de:
L11=4,5[H] L22=2,5[H] L12=2,8 cos theta[H]
onde theta é o ângulo entre os eixos dos enrolamentos. As resistências dos enrolamentos podem ser desprezadas. O enrolamento 2 está em curto-circuito e a corrente no enrolamento 1 é i1=10 sen omega t.
Deduza uma expressão para o valor numérico do conjugado instantâneo no rotor em termos do ângulo theta.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos dois enrolamentos (um no estator e outro no rotor) com indutâncias:
Te ;=; i1,i2,dL12dtheta.
O enrolamento 2 (no rotor) está em curto e a corrente no 1 é .
O que a gente quer é o conjugado (torque) instantâneo no rotor em função de .
Conteúdo usado: indutância mútua, fluxo, condições de curto (sem resistência) e a fórmula do torque eletromagnético

Passo 2

Primeiro, vamos achar ddt(L22i2 + L12i1)=0 ;Longrightarrow; L22,di2dt + dL12dt,i1 + L12,di1dt=0 . Como o enrolamento 2 está em curto e sem resistência, o fluxo ligado a ele é constante, ou seja
phi2=L22i2 + L12i1=0 ;Longrightarrow; i2 = -L12L22,i1 . Mas
.
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Como depende só de , e não de direto, a forma mais simples (e usual) é assumir que o fluxo inicial é zero, dando diretamente

Passo 3

Agora a gente aplica a fórmula do torque eletromagnético gerado pela variação da indutância mútua:
Te ;=; i1,i2,dL12dtheta
Já temos L12(theta)=2,8costheta Longrightarrow dL12dtheta=-2,8sintheta . Também sabemos

Passo 4

Substituindo tudo em Te = i1;l(-tfracL12L22,i1r); l(-2,8sinthetar) = i1^2,L12L22;2,8sintheta :
Te = i1^2L22,(2,8costheta);(2,8sintheta) = i1^22,5;2,8^2;costhetasintheta
Mas Te = i1^22,5;7,84;sin2theta2 = 7,845;i1^2;sin2theta =1,568,i1^2,sin2theta , então
E , , então

Passo 5

Só falta pôr i1^2 =100sin^2(omega t) ;Longrightarrow; Te(t)=1,568times100;sin^2(omega t);sin2theta =156,8;sin^2(omega t);sin2theta :

Resposta

.

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