Dois enrolamentos, um montado em um estator e o outro, em um rotor, têm indutâncias próprias e mútuas de:
L11=4,5[H] L22=2,5[H] L12=2,8 cos theta[H]
onde theta é o ângulo entre os eixos dos enrolamentos. As resistências dos enrolamentos podem ser desprezadas. O enrolamento 2 está em curto-circuito e a corrente no enrolamento 1 é i1=10 sen omega t.
Calcule o conjugado médio, quando theta=45^circ.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui. A questão é de máquina elétrica, mais especificamente de torque eletromagnético numa máquina de dois enrolamentos (um no estator e outro no rotor). Os dados são:
L11=4,5;H, L22=2,5;H, L12=2,8costheta;H
Desprezamos resistências. O enrolamento 2 está em curto-circuito e no enrolamento 1 passa a corrente
i1(t)=10sin(omega t)
Precisamos achar o torque médio quando o ângulo entre eixos é .
Para isso vamos precisar de:
  1. A relação entre e no curto-circuito;
  2. A fórmula do torque em função das indutâncias (derivada de energia ou coenergia);
  3. Fazer as contas para achar o torque instantâneo e então tirar o valor médio.

Passo 2

Primeiro, a corrente v2 = ddtl(L22i2 + L12i1r) = 0 ;Longrightarrow; L22,di2dt + L12,di1dt = 0 no enrolamento 2 em curto: como i2 = -L12L22;i1 , vale
Integrando (e assumindo condição inicial zero), obtemos

Passo 3

A teoria do torque em máquinas elétricas diz que, quando só T = i1,i2;dL12dtheta, varia com dL12dtheta = -2,8sintheta ,
T(t) = i1(t);l(-L12L22,i1(t)r); l(-2,8sinthetar) = L12;2,8L22;sintheta;l[i1(t)r]^2
pois T(t)=2,8costheta;cdot2,82,5;sintheta;l[i1(t)r]^2 =7,842,5,sinthetacostheta;,i1^2(t) =3,136,sinthetacostheta;,i1^2(t) e não dependem de .
Sabendo , temos
Substituindo e essa derivada,
E como ,

Passo 4

Agora coloca T(t) =3,136;times0,5;times[10sin(omega t)]^2 =1,568;times100;sin^2(omega t) =156,8;sin^2(omega t);Ncdot m , daí Trm m =156,8;times12 =78,4;Ncdot m , e :
Como a gente quer o torque médio no tempo, usa :

Resposta

O torque médio vale

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