Dois enrolamentos, um montado em um estator e o outro, em um rotor, têm indutâncias próprias e mútuas de:
L11=4,5[H] L22=2,5[H] L12=2,8 cos theta[H]
onde theta é o ângulo entre os eixos dos enrolamentos. As resistências dos enrolamentos podem ser desprezadas. O enrolamento 2 está em curto-circuito e a corrente no enrolamento 1 é i1=10 sen omega t.
Se o rotor puder se mover, irá ele girar continuamente ou tenderá a entrar em repouso? Caso o rotor estiver em repouso, então, para qual valor de theta0 ocorrerá tal condição?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos dois enrolamentos (um no estator, outro no rotor) com auto-indutâncias
L11=4,5rm H, L22=2,5rm H
e indutância mútua
L12=2,8costheta rm H
O enrolamento 2 está em curto (resistência zero) e o enrolamento 1 recebe corrente
i1=10sin(omega t) rm A
A pergunta: se o rotor pode girar, ele vai girar sem parar ou vai parar num ângulo θ₀? E, estando parado, qual é esse θ₀?
Conteúdo usado: indução mútua, curto-circuito, cálculo de corrente induzida, torque eletromagnético via derivada de indutância, equilíbrio de torque.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a corrente do enrolamento 2. Como está em curto, a tensão nele é zero:
v2=ddtl(L22i2+L12i1r)=0
Para um rotor fixo (θ constante) isso vira
L22,di2dt+L12,di1dt=0
Integrando, dá
i2(t)=-L12L22,i1(t)
Substituindo números:
L12L22=2,8costheta2,5=1,12costheta,
então
i2(t)=-1,12costheta;l[10sin(omega t)r]=-11,2costheta;sin(omega t) rm A

Passo 3

Agora, a teoria do torque em máquinas indutivas diz que, com correntes i₁ e i₂ e mutua M(θ),
o torque instantâneo é
T(t)=12,i1,i2,dL12dtheta
Aqui
dL12dtheta=ddthetal(2,8costhetar)=-2,8sintheta

Passo 4

Substituindo i₁, i₂ e dL₁₂/dθ em T(t):
T(t)=12,[10sin(omega t)];[-11,2costheta,sin(omega t)];[-2,8sintheta]
Fazendo as contas:
- Produto de constantes: T(t)=156,8;(tfrac12sin2theta);sin^2(omega t)=78,4,sin2theta,sin^2(omega t).
- Sinais: (–)·(–)=+.
- Funções: lang<= Trang<==78,4,sin2theta;lang<=sin^2(omega t)rang<==78,4,sin2thetacdot12=39,2,sin2theta.
- Resto: .
Logo
Como o rotor é lento, interessa o torque médio no tempo:

Passo 5

Para ver se ele gira todo tempo ou pára, buscamos onde o torque médio dá zero:
39,2,sin2theta=0 Longrightarrow 2theta=kpi Longrightarrow theta=0,tfracpi2,pi,dots
Destes, só onde o torque tende a restaurar (equilíbrio estável) ele pára de fato. Isso acontece quando
dlang<= Trang<=dtheta=39,2cdot2cos2theta
for negativo. Em θ=π/2, cos(π)=–1, dá derivada negativa → ponto estável.

Resposta

O rotor não gira continuamente; ele tende a parar num ângulo de equilíbrio
boxedtheta0=pi2 rm rad$

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