Dois enrolamentos, um montado em um estator e o outro, em um rotor, têm indutâncias próprias e mútuas de:
onde
é o ângulo entre os eixos dos enrolamentos. As resistências dos enrolamentos podem ser desprezadas. O enrolamento 2 está em curto-circuito e a corrente no enrolamento 1 é
sen
.
Se o rotor puder se mover, irá ele girar continuamente ou tenderá a entrar em repouso? Caso o rotor estiver em repouso, então, para qual valor de
ocorrerá tal condição?
Se o rotor puder se mover, irá ele girar continuamente ou tenderá a entrar em repouso? Caso o rotor estiver em repouso, então, para qual valor de
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos dois enrolamentos (um no estator, outro no rotor) com auto-indutâncias
e indutância mútua
O enrolamento 2 está em curto (resistência zero) e o enrolamento 1 recebe corrente
A pergunta: se o rotor pode girar, ele vai girar sem parar ou vai parar num ângulo θ₀? E, estando parado, qual é esse θ₀?
Conteúdo usado: indução mútua, curto-circuito, cálculo de corrente induzida, torque eletromagnético via derivada de indutância, equilíbrio de torque.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a corrente do enrolamento 2. Como está em curto, a tensão nele é zero:
Para um rotor fixo (θ constante) isso vira
Integrando, dá
Substituindo números:
então
Passo 3
Agora, a teoria do torque em máquinas indutivas diz que, com correntes i₁ e i₂ e mutua M(θ),
o torque instantâneo é
o torque instantâneo é
Aqui
Passo 4
Substituindo i₁, i₂ e dL₁₂/dθ em T(t):
Fazendo as contas:
- Produto de constantes:
- Sinais: (–)·(–)=+.
- Funções:
- Resto:
Logo
Como o rotor é lento, interessa o torque médio no tempo:
Passo 5
Para ver se ele gira todo tempo ou pára, buscamos onde o torque médio dá zero:
Destes, só onde o torque tende a restaurar (equilíbrio estável) ele pára de fato. Isso acontece quando
for negativo. Em θ=π/2, cos(π)=–1, dá derivada negativa → ponto estável.
Resposta
O rotor não gira continuamente; ele tende a parar num ângulo de equilíbrio