1. Dois especialistas X e Y estimaram o tempo em horas a ser gasto no desenvolvimento de 11 projetos:
(d) Se, num conjunto de n pontos no plano, existir um deles que está muito destoante do comportamento geral, qual será o efeito sobre o coeficiente de correlaçāo de se excluir este ponto?

Passo 1

O enunciado fornece estimativas de tempo (em horas) feitas por dois especialistas X e Y para 11 projetos (os dados estão na tabela da figura). A pergunta (d) pede, de forma geral: “Se, num conjunto de n pontos no plano, existir um deles que está muito destoante do comportamento geral, qual será o efeito sobre o coeficiente de correlação de se excluir este ponto?”\n
Informações relevantes dadas:
  • n=11 pares de observações (x_i,y_i), sendo x_i as estimativas do especialista X e y_i as do especialista Y (os valores foram extraídos da tabela da imagem).
  • A pergunta é conceitual: quer saber o efeito, sobre o coeficiente de correlação de Pearson, de excluir um ponto que é muito destoante do conjunto.

Passo 2

O que é o coeficiente de correlação de Pearson e como ele é calculado (explicação passo a passo, sem pular etapas).
  • Definição: o coeficiente de correlação de Pearson mede a relação linear entre duas variáveis X e Y. O valor de Pearson é denotado por r e varia entre -1 e 1.
  • Fórmula (forma usual):
r=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}}\;\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^{2}}},
onde:
  • x_i e y_i são as observações emparelhadas,
  • \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i é a média dos x,
  • \bar{y}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i é a média dos y.
  • Interpretação das partes:
    • O numerador \sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) é proporcional à covariância amostral; ele mede se x e y tendem a variar juntos (positivo) ou em sentidos opostos (negativo).
    • Os denominadores \sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^{2}} e \sqrt{\sum (y_i-\bar{y})^{2}} são proporcionais aos desvios padrão amostrais (medem dispersão). Dividir pela combinação delas padroniza a covariância, resultando em r adimensional entre -1 e 1.

Passo 3

Entendendo por que um único ponto pode ter grande efeito sobre r (conceitos de alavancagem e influência).
  • Alavancagem: um ponto tem alta alavancagem quando seu valor de x_i está distante de \bar{x} (ou simetricamente, quando y_i está distante de \bar{y}). Na fórmula, termos com (x_i-\bar{x}) e (y_i-\bar{y}) grandes influenciam fortemente o numerador e os denominadores.
  • Influência: um ponto influente é aquele que, por combinar alta alavancagem com um grande desvio (resíduo), altera substancialmente os parâmetros da relação (como a inclinação da reta de regressão) e, consequentemente, o valor de r.
  • Conclusão qualitativa: não é surpresa que excluir um único ponto isolado possa alterar bastante r, porque esse ponto entra diretamente em todas as somas do numerador e também nas somas dos denominadores.

Passo 4

Casos possíveis e o efeito esperado de excluir o ponto destoante — explicação didática com intuição geométrica.
  • Caso A — ponto destoante que não segue a tendência (outlier vertical/discordante):
    • Se o ponto está longe do “nuvem” de dados e não se alinha com a direção geral (por exemplo, fica muito acima ou abaixo da reta que descreve o restante), esse ponto geralmente reduz a magnitude de r (ou seja, empurra |r| para baixo). Excluir esse ponto normalmente aumenta |r|, tornando a correlação entre os restantes mais forte.
    • Intuição: o numerador tem um termo que não contribui na mesma direção que os outros termos, reduzindo a soma total; tirando-o, a soma dos produtos tende a ficar mais coerente com a tendência interna.
  • Caso B — ponto extremo que está exatamente na direção da tendência (outlier que é “alinhado”):
    • Se o ponto está longe, mas precisamente sobre a extensão da tendência (por exemplo, um ponto bem à direita e bem acima, seguindo a reta que o restante sugere), esse ponto pode aumentar a magnitude de r. Excluir esse ponto pode diminuir |r|.
    • Intuição: o ponto alinhado contribui positivamente ao numerador e aos denominadores de forma consistente, reforçando a correlação; se o remover, perde-se essa contribuição que “fortalecia” r.
  • Caso C — ponto extremo que está em posição que provoca inversão:
    • Se o outlier for tão influente que puxa o numerador a ponto de mudar o sinal da soma, ele pode inverter o sinal de r. Excluir esse ponto pode então causar mudança de sinal do coeficiente (por exemplo, um r ligeiramente negativo tornar-se positivo).
  • Em resumo: A exclusão de um ponto destoante pode aumentar ou diminuir |r| e até mudar o sinal de r. O efeito concreto depende da posição do ponto em relação à média e à direção do conjunto restante.

Passo 5

Um exemplo numérico simples e totalmente calculado para fixar a ideia (mostra que um único ponto pode inverter r).
  • Considere estas três observações que estão perfeitamente alinhadas:
    • (1,1), (2,2), (3,3).
    • Para estas três, temos \bar{x}=2 e \bar{y}=2. Calcula-se diretamente:
    \sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = (-1)(-1) + 0\cdot0 + 1\cdot1 = 1+0+1=2,
\sum (x_i-\bar{x})^{2} = (-1)^{2}+0^{2}+1^{2}=2,
\sum (y_i-\bar{y})^{2} = 2.
Portanto
r=\frac{2}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=1.
Ou seja, correlação perfeita positiva.
  • Agora acrescente um ponto destoante (4,0). Com as quatro observações:
    • \bar{x}=\dfrac{1+2+3+4}{4}=2,5, \bar{y}=\dfrac{1+2+3+0}{4}=1,5.
    • Calcula-se o numerador termo a termo: (1-2,5)(1-1,5)=(-1,5)(-0,5)=0,75,
(2-2,5)(2-1,5)=(-0,5)(0,5)=-0,25,
(3-2,5)(3-1,5)=(0,5)(1,5)=0,75,
(4-2,5)(0-1,5)=(1,5)(-1,5)=-2,25.
Soma do numerador \(=0,75-0,25+0,75-2,25=-1\).
  • As somas dos quadrados das diferenças são ambas 5, logo o denominador é \sqrt{5}\sqrt{5}=5.
  • Assim r=\frac{-1}{5}=-0,2.
  • Conclusão do exemplo: adicionar o outlier transformou r de 1 (correlação perfeita positiva) para -0,2 (correlação fraca negativa). Logo, excluir esse ponto extremo restauraria a forte correlação positiva. Esse exemplo ilustra dramaticamente como um único ponto discrepante pode mudar fortemente o coeficiente de correlação.

Passo 6

Resumo prático do que fazer na prova e como responder condicionalmente (passo a passo prático que você pode aplicar na hora).
  • Passo 1 na prova: identifique visualmente se há pontos com alta alavancagem (longe da média em x) e se esses pontos têm grandes resíduos (muito fora da tendência). Um gráfico de dispersão ajuda muito.
  • Passo 2: formule a resposta conceitual dizendo que o efeito depende da posição do ponto (alinhado vs. discordante).
  • Passo 3: se solicitado, argumente com a fórmula de r e explique que um termo com (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) muito grande muda as somas do numerador e dos denominadores.
  • Passo 4: se for pedido para decidir numericamente, calcule r com e sem o ponto discrepante (como no exemplo) — em exercícios de prova é comum pedir exatamente isso para mostrar a influência.

Resposta

A exclusão de um ponto muito destoante pode tanto aumentar quanto diminuir o coeficiente de correlação de Pearson (e até mudar o seu sinal): se o ponto destoante estava “atrapalhando” a tendência do conjunto, sua remoção tende a aumentar |r|; se o ponto extremo estava alinhado com a tendência, sua remoção tende a diminuir |r|. Em geral, o efeito concreto só pode ser determinado observando a posição do ponto em relação às médias e à direção dos demais pontos.

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