- Dois especialistas X e Y estimaram o tempo em horas a ser gasto no desenvolvimento de 11 projetos:
(d) Se, num conjunto de n pontos no plano, existir um deles que está muito destoante do comportamento geral, qual será o efeito sobre o coeficiente de correlaçāo de se excluir este ponto?
Passo 1
O enunciado fornece estimativas de tempo (em horas) feitas por dois especialistas
e
para 11 projetos (os dados estão na tabela da figura). A pergunta (d) pede, de forma geral: “Se, num conjunto de
pontos no plano, existir um deles que está muito destoante do comportamento geral, qual será o efeito sobre o coeficiente de correlação de se excluir este ponto?”\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Há
pares de observações , sendo as estimativas do especialista e as do especialista (os valores foram extraídos da tabela da imagem). - A pergunta é conceitual: quer saber o efeito, sobre o coeficiente de correlação de Pearson, de excluir um ponto que é muito destoante do conjunto.
Passo 2
O que é o coeficiente de correlação de Pearson e como ele é calculado (explicação passo a passo, sem pular etapas).
- Definição: o coeficiente de correlação de Pearson mede a relação linear entre duas variáveis
e . O valor de Pearson é denotado por e varia entre e . - Fórmula (forma usual):
onde:
-
e são as observações emparelhadas, -
é a média dos , -
é a média dos . - Interpretação das partes:
- O numerador
é proporcional à covariância amostral; ele mede se e tendem a variar juntos (positivo) ou em sentidos opostos (negativo). - Os denominadores
e são proporcionais aos desvios padrão amostrais (medem dispersão). Dividir pela combinação delas padroniza a covariância, resultando em adimensional entre e .
- O numerador
Passo 3
Entendendo por que um único ponto pode ter grande efeito sobre
(conceitos de alavancagem e influência).
- Alavancagem: um ponto tem alta alavancagem quando seu valor de
está distante de (ou simetricamente, quando está distante de ). Na fórmula, termos com e grandes influenciam fortemente o numerador e os denominadores. - Influência: um ponto influente é aquele que, por combinar alta alavancagem com um grande desvio (resíduo), altera substancialmente os parâmetros da relação (como a inclinação da reta de regressão) e, consequentemente, o valor de
. - Conclusão qualitativa: não é surpresa que excluir um único ponto isolado possa alterar bastante
, porque esse ponto entra diretamente em todas as somas do numerador e também nas somas dos denominadores.
Passo 4
Casos possíveis e o efeito esperado de excluir o ponto destoante — explicação didática com intuição geométrica.
- Caso A — ponto destoante que não segue a tendência (outlier vertical/discordante):
- Se o ponto está longe do “nuvem” de dados e não se alinha com a direção geral (por exemplo, fica muito acima ou abaixo da reta que descreve o restante), esse ponto geralmente reduz a magnitude de
(ou seja, empurra para baixo). Excluir esse ponto normalmente aumenta , tornando a correlação entre os restantes mais forte. - Intuição: o numerador tem um termo que não contribui na mesma direção que os outros termos, reduzindo a soma total; tirando-o, a soma dos produtos tende a ficar mais coerente com a tendência interna.
- Se o ponto está longe do “nuvem” de dados e não se alinha com a direção geral (por exemplo, fica muito acima ou abaixo da reta que descreve o restante), esse ponto geralmente reduz a magnitude de
- Caso B — ponto extremo que está exatamente na direção da tendência (outlier que é “alinhado”):
- Se o ponto está longe, mas precisamente sobre a extensão da tendência (por exemplo, um ponto bem à direita e bem acima, seguindo a reta que o restante sugere), esse ponto pode aumentar a magnitude de
. Excluir esse ponto pode diminuir . - Intuição: o ponto alinhado contribui positivamente ao numerador e aos denominadores de forma consistente, reforçando a correlação; se o remover, perde-se essa contribuição que “fortalecia”
.
- Se o ponto está longe, mas precisamente sobre a extensão da tendência (por exemplo, um ponto bem à direita e bem acima, seguindo a reta que o restante sugere), esse ponto pode aumentar a magnitude de
- Caso C — ponto extremo que está em posição que provoca inversão:
- Se o outlier for tão influente que puxa o numerador a ponto de mudar o sinal da soma, ele pode inverter o sinal de
. Excluir esse ponto pode então causar mudança de sinal do coeficiente (por exemplo, um ligeiramente negativo tornar-se positivo).
- Se o outlier for tão influente que puxa o numerador a ponto de mudar o sinal da soma, ele pode inverter o sinal de
- Em resumo: A exclusão de um ponto destoante pode aumentar ou diminuir
e até mudar o sinal de . O efeito concreto depende da posição do ponto em relação à média e à direção do conjunto restante.
Passo 5
Um exemplo numérico simples e totalmente calculado para fixar a ideia (mostra que um único ponto pode inverter
).
- Considere estas três observações que estão perfeitamente alinhadas:
-
. - Para estas três, temos
e . Calcula-se diretamente:
-
Portanto
Ou seja, correlação perfeita positiva.
- Agora acrescente um ponto destoante
. Com as quatro observações: -
, . - Calcula-se o numerador termo a termo:
-
Soma do numerador \(=0,75-0,25+0,75-2,25=-1\).
- As somas dos quadrados das diferenças são ambas
, logo o denominador é . - Assim
- Conclusão do exemplo: adicionar o outlier transformou
de (correlação perfeita positiva) para (correlação fraca negativa). Logo, excluir esse ponto extremo restauraria a forte correlação positiva. Esse exemplo ilustra dramaticamente como um único ponto discrepante pode mudar fortemente o coeficiente de correlação.
Passo 6
Resumo prático do que fazer na prova e como responder condicionalmente (passo a passo prático que você pode aplicar na hora).
- Passo 1 na prova: identifique visualmente se há pontos com alta alavancagem (longe da média em
) e se esses pontos têm grandes resíduos (muito fora da tendência). Um gráfico de dispersão ajuda muito. - Passo 2: formule a resposta conceitual dizendo que o efeito depende da posição do ponto (alinhado vs. discordante).
- Passo 3: se solicitado, argumente com a fórmula de
e explique que um termo com muito grande muda as somas do numerador e dos denominadores. - Passo 4: se for pedido para decidir numericamente, calcule
com e sem o ponto discrepante (como no exemplo) — em exercícios de prova é comum pedir exatamente isso para mostrar a influência.
Resposta
A exclusão de um ponto muito destoante pode tanto aumentar quanto diminuir o coeficiente de correlação de Pearson (e até mudar o seu sinal): se o ponto destoante estava “atrapalhando” a tendência do conjunto, sua remoção tende a aumentar
; se o ponto extremo estava alinhado com a tendência, sua remoção tende a diminuir
. Em geral, o efeito concreto só pode ser determinado observando a posição do ponto em relação às médias e à direção dos demais pontos.