Exercício 5.11. Seja X uma variável aleatória com função densidade de probabilidade
f(x)=\left\{\begin{array}{l} C\left(1-x^{2}\right), \text { se } x \in[-1,1] \\\\ 0, \text { caso contrário. } \end{array}\right.á
Qual o valor de C? Qual a função de distribuição acumulada de X?

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade
f(x)=\begin{cases} C\left(1-x^{2}\right), & x\in[-1,1],\\[4pt] 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
e pede duas coisas:
  • Qual o valor de C.
  • Qual a função de distribuição acumulada F_X(x)=P(X\le x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função f é nula fora do intervalo [-1,1].
  • Dentro de [-1,1], f(x)=C(1-x^2).
  • A constante C ainda é desconhecida e deve garantir que f seja uma densidade de probabilidade (ou seja, a integral total deve ser 1).]

Passo 2

Para encontrar C usamos a condição de normalização: a probabilidade total é 1. Isso significa
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de [-1,1], a integral reduz-se a
\int_{-1}^{1} C(1-x^{2})\,dx = 1.

Passo 3

Calculo da integral passo a passo. Primeiro integra-se a função 1-x^{2}:
\int (1-x^{2})\,dx = x - \frac{x^{3}}{3} + \text{constante}.
Aplicando os limites de integração de -1 a 1:
\int_{-1}^{1} (1-x^{2})\,dx = \left[x - \frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}.
Agora avalia-se nos extremos:
\left(x - \frac{x^{3}}{3}\right)\Bigg|_{x=1} = 1 - \frac{1}{3}=\frac{2}{3},
\left(x - \frac{x^{3}}{3}\right)\Bigg|_{x=-1} = -1 - \frac{-1}{3} = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}.
Subtraindo:
\int_{-1}^{1} (1-x^{2})\,dx = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}.
Voltando à equação de normalização:
C \cdot \frac{4}{3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{3}{4}.

Passo 4

Conclusão sobre C: a constante que normaliza a densidade é
C=\frac{3}{4}.
Pequeno comentário didático: essa constante ajusta a área sob a curva f para que a soma de todas as probabilidades seja 1. Sempre que tiver uma densidade com um fator desconhecido, essa é a etapa padrão: integrar sobre o suporte e igualar a 1.

Passo 5

Agora vamos construir a função de distribuição acumulada F_X(x)=P(X\le x). Por definição,
F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Como f(t)=0 para t<-1 e para t>1, temos três regiões a tratar separadamente:
  • Para x<-1: F_X(x)=0.
  • Para x>1: F_X(x)=1.
  • Para x\in[-1,1]: calcular a integral de -1 até x.

Passo 6

Cálculo para x\in[-1,1]. Usando C=\dfrac{3}{4},
F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt = \int_{-1}^{x} \frac{3}{4}\bigl(1-t^{2}\bigr)\,dt.
Integramos como antes:
\int_{-1}^{x} (1-t^{2})\,dt = \left[t-\frac{t^{3}}{3}\right]_{-1}^{x} = \left(x-\frac{x^{3}}{3}\right) - \left(-\frac{2}{3}\right) = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}.
Multiplicando por C=\dfrac{3}{4}:
F_X(x)=\frac{3}{4}\!\left(x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}\right).
Simplificando os termos:
F_X(x)=\frac{3}{4}x - \frac{1}{4}x^{3} + \frac{1}{2}.
Verificações rápidas (úteis na hora da prova): em x=-1 obtemos F_X(-1)=0 e em x=1 obtemos F_X(1)=1, como deve ser.

Passo 7

Resumo didático e interpretação: a função de distribuição acumulada é contínua e crescente; sua derivada (onde existe) é exatamente a densidade f. Aqui, para x\in(-1,1),
\frac{d}{dx}F_X(x)=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}x^{2}=\frac{3}{4}(1-x^{2})=f(x),
o que confirma que o cálculo está coerente. Não esqueça: na prova, sempre divida em casos (fora do suporte e dentro do suporte) e verifique as condições nos limites.

Resposta

C=\dfrac{3}{4}
F_X(x)=\begin{cases} 0, & x<-1,\\[6pt] \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{4}x^{3}, & x\in[-1,1],\\[8pt] 1, & x>1. \end{cases}]

Exercícios relacionados