Exercício 5.10. O diâmetro X de um cabo elétrico supõe-se ser uma variável aleatória de fdp
f(x)=\left\{\begin{array}{l} 6 x(1-x), \text { se } x \in[0,1] \\\\ 0, \text { caso contrário } \end{array}\right.á
Verifique que de fato essa função define uma fdp e depois encontre a função de distribuição acumulada de X.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases} 6x(1-x), & \text{se } x\in[0,1],\\[4pt] 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
e pede duas coisas:
  • Verificar que essa função de fato define uma função densidade de probabilidade (fdp).
  • Encontrar a função de distribuição acumulada (CDF) F(x)=P(X\le x) de X.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão analítica de f(x) no intervalo [0,1].
  • Fora de [0,1], f(x)=0.]

Passo 2

O que significa ser uma fdp? Vou lembrar de forma direta e prática:
  • Condição 1: f(x)\ge 0 para todo x.
  • Condição 2: \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Vou checar cada condição passo a passo.

Passo 3

Verificação da não-negatividade ( f(x)\ge 0).
Para x\notin[0,1] temos f(x)=0, então é não-negativa aí.
Para x\in[0,1] note que x\ge 0 e 1-x\ge 0, logo o produto x(1-x)\ge 0. Multiplicando por 6>0 mantém a não-negatividade. Portanto
f(x)\ge 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Verificação da normalização ( \int f=1).
Como f(x)=0 fora de [0,1], basta integrar em [0,1]:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{0}^{1} 6x(1-x)\,dx.
Desenvolvendo a integral:
\int_{0}^{1} 6x(1-x)\,dx = 6\int_{0}^{1} (x-x^{2})\,dx =6\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}.
Calcule o valor no intervalo:
6\left(\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}\right)=6\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) =6\left(\frac{3-2}{6}\right)=6\cdot\frac{1}{6}=1.
Portanto \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1.

Passo 5

Conclusão parcial sobre ser fdp.
Já mostramos que f(x)\ge 0 para todo x e que a integral total é 1. Logo f satisfaz as duas condições e portanto é de fato uma função densidade de probabilidade.

Passo 6

Definição e estratégia para calcular a função de distribuição acumulada F(x).
Por definição,
F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Como f(t)=0 para t<0 e para t>1, a CDF será naturalmente em três regiões: x<0, 0\le x\le 1 e x>1. Vou calcular cada uma.

Passo 7

Caso x<0.
Se x<0 o intervalo de integração (-\infty,x] não intercepta [0,1], então
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt=0.

Passo 8

Caso x>1.
Se x>1 então a integral até x engloba todo o suporte [0,1], então
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,dt=1.

Passo 9

Caso 0\le x\le 1: calcular a integral até x.
Para 0\le x\le 1 temos
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt=\int_{0}^{x} 6t(1-t)\,dt =6\int_{0}^{x} (t-t^{2})\,dt.
Calcule a primitiva e avalie:
6\left[\frac{t^{2}}{2}-\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{x} =6\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right).
Simplificando os coeficientes:
6\cdot\frac{x^{2}}{2}=3x^{2},\qquad 6\cdot\frac{x^{3}}{3}=2x^{3},
logo
F(x)=3x^{2}-2x^{3}\quad\text{para }0\le x\le 1.

Passo 10

Verificações finais (continuidade nas extremidades e relação com f).
  • Em x=0 a expressão dá F(0)=3\cdot0^{2}-2\cdot0^{3}=0, compatível com o caso x<0.
  • Em x=1 F(1)=3\cdot1^{2}-2\cdot1^{3}=3-2=1, compatível com o caso x>1.
  • Derivando a expressão interiormente, para 0<x<1:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-2x^{3}\bigr)=6x-6x^{2}=6x(1-x)=f(x),
o que confirma que F' coincide com a densidade f no interior do suporte (como deve acontecer).

Passo 11

Resumo final e motivação curta para a prova.
  • Para checar fdp, basta mostrar não-negatividade e normalização — dois cheques rápidos e que sempre caem.
  • Para obter a CDF, use a definição F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt e trate as regiões fora e dentro do suporte separadamente. Isso evita confusão e economiza cálculo.

Resposta

Sim. \displaystyle f(x)\ge 0 para todo x e \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1, portanto f é uma fdp.
F(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 3x^{2}-2x^{3}, & 0\le x\le 1,\\[4pt] 1, & x>1. \end{cases}

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