Para x\notin[0,1] temos f(x)=0, então é não-negativa aí.
Para x\in[0,1] note que x\ge 0 e 1-x\ge 0, logo o produto x(1-x)\ge 0. Multiplicando por 6>0 mantém a não-negatividade. Portanto
f(x)\ge 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Passo 4
Verificação da normalização (\int f=1).
Como f(x)=0 fora de [0,1], basta integrar em [0,1]:
Já mostramos que f(x)\ge 0 para todo x e que a integral total é 1. Logo f satisfaz as duas condições e portanto é de fato uma função densidade de probabilidade.
Passo 6
Definição e estratégia para calcular a função de distribuição acumulada F(x).
Por definição,
F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Como f(t)=0 para t<0 e para t>1, a CDF será naturalmente em três regiões: x<0, 0\le x\le 1 e x>1. Vou calcular cada uma.
Passo 7
Caso x<0.
Se x<0 o intervalo de integração (-\infty,x] não intercepta [0,1], então
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt=0.
Passo 8
Caso x>1.
Se x>1 então a integral até x engloba todo o suporte [0,1], então
o que confirma que F' coincide com a densidade f no interior do suporte (como deve acontecer).
Passo 11
Resumo final e motivação curta para a prova.
Para checar fdp, basta mostrar não-negatividade e normalização — dois cheques rápidos e que sempre caem.
Para obter a CDF, use a definição F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt e trate as regiões fora e dentro do suporte separadamente. Isso evita confusão e economiza cálculo.
Resposta
Sim. \displaystyle f(x)\ge 0 para todo x e \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1, portanto f é uma fdp.