Dois eventos A e B de um espaço amostral são independentes. A probabilidade do evento A é P(A)=0,4 e a probabilidade da união de A com B é P(AUB)= 0,8. Pode-se concluir que a probabilidade do evento B é

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois eventos, A e B, que são independentes num espaço amostral. A probabilidade de A acontecer é $ P(A) = 0,4 $ e a probabilidade da união de A com B, ou seja, seja A ou B acontecer, é $ P(A \cup B) = 0,8 $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a probabilidade de B, $ P(B) $.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa eventos independentes. Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro acontecer. Isso significa que $ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $. Ou seja, a probabilidade de acontecer A e B juntos é o produto das probabilidades individuais.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da probabilidade da união de dois eventos:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Como $ A $ e $ B $ são independentes, substituímos $ P(A \cap B) $ por $ P(A) \times P(B) $:
A

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
0,8 = 0,4 + P(B) - 0,4P(B)
Juntando os termos que contêm $ P(B) $:
P(B)
0,8 - 0,4 = P(B)(1 - 0,4)

Passo 5

Agora, isolamos $ P(B) $ dividindo ambos os lados por 0,6:
P(B)

Resposta

A probabilidade do evento B é $ P(B) = \frac{2}{3} $ ou aproximadamente 0,6667.

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