Considere f uma função de duas variáveis, ou seja, z = f (x, y). Com base em informações, análise os itens que seguem. I. A inclinação da superfície z em direção a y é dada pela derivada parcial de f (x, y) em relação à x. II. A derivada parcial de f (x, y) em relação a x pode ser interpretada como a taxa de variação da função em relação a x. III. A inclinação da superfície z em direção a x é dada pela derivada parcial de f (x, y) em relação à y. Assinale a alternativa correta. Alternativas:
a) Apenas o item I está correto.
b) Apenas o item II está correto.
c) Apenas o item III está correto.
d) Apenas os itens I e II estão corretos.
e) Os itens I, II e III estão corretos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre funções de duas variáveis, $ z = f(x, y) $, e nos pergunta sobre derivadas parciais e inclinações da superfície. Precisamos entender como as derivadas parciais se relacionam com a inclinação em diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, $ f(x, y) $, a derivada parcial em relação a $ x $, denotada por $ \frac{\partial f}{\partial x} $, nos mostra como a função muda quando mudamos apenas $ x $, mantendo $ y $ constante. Isso é chamado de taxa de variação da função em relação a $ x $.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada afirmação:
I. A inclinação da superfície $ z $ em direção a $ y $ é dada pela derivada parcial de $ f(x, y) $ em relação a $ x $.
Isso está meio confuso. Se queremos a inclinação na direção de $ y $, deveríamos olhar para a derivada parcial em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Então, essa afirmação está errada.
II. A derivada parcial de $ f(x, y) $ em relação a $ x $ pode ser interpretada como a taxa de variação da função em relação a $ x $.
Exatamente! Como mencionamos antes, $ \frac{\partial f}{\partial x} $ mede como $ f $ muda quando $ x $ muda, mantendo $ y $ fixo. Então, essa afirmação está correta.
III. A inclinação da superfície $ z $ em direção a $ x $ é dada pela derivada parcial de $ f(x, y) $ em relação a $ y $.
Aqui também tem a mesma confusão da primeira afirmação. Se queremos a inclinação na direção de $ x $, devemos usar $ \frac{\partial f}{\partial x} $, não $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Então, essa afirmação também está errada.

Resposta

A alternativa correta é a b) Apenas o item II está correto.

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