Dê dois exemplos distintos de funções contínuas e positivas no intervalo
e que não possuam derivada em um ponto de
.
Passo 1
O problema pede: dar dois exemplos distintos de funções que satisfazem simultaneamente as três propriedades abaixo:
- são contínuas no intervalo
; - são estritamente positivas em todo o intervalo
(ou seja, tomam valores em cada ponto de ); - não possuem derivada em algum ponto interior de
(ou seja, existe tal que a derivada não existe em ).
Informações relevantes que vou usar:
- a definição de derivada em um ponto
é
quando esse limite existe (é finito e único).
- para mostrar que a derivada NÃO existe em
basta mostrar que os limites laterais
são diferentes ou que algum deles não é finito.
Passo 2
Primeiro exemplo: proponho a função
Vou verificar as três propriedades pedidas.
Continuidade: a função
é contínua em todo
, somando a constante
continua-se a obter uma função contínua; logo
é contínua em
.
Positividade: para todo
tem-se
, logo
. Portanto
é positiva em
.
Não diferenciabilidade em um ponto interior: vou estudar a derivabilidade em
(que pertence a
). Use a definição de derivada em
. Note que
. Calculo as diferenças quociente laterais.
Passo 3
Cálculo das derivadas laterais de
em
.
Para
,
Tomando limite
obtemos
Para
,
Tomando limite
obtemos
Como os limites laterais são diferentes (
e
), o limite central não existe; portanto
não é derivável em
. Concluímos que
satisfaz todas as condições.
Passo 4
Segundo exemplo: proponho a função
Vou verificar as três propriedades pedidas (continuidade, positividade, não diferenciabilidade em ponto interior).
Continuidade: a função
é contínua em todo
(a composição de contínuas
e
em
é contínua); somando a constante
obtemos continuidade em
. Logo
é contínua em
.
Positividade: para todo
tem-se
, então
. Logo
é positiva no intervalo.
Agora verifico a derivabilidade em
(novamente um ponto de
).
Passo 5
Cálculo das diferenças quociente de
em
.
Como
, para
temos
Quando
esse quociente tende a
, ou seja
Para
(escrevendo
com
) temos
Quando
(ou
) esse quociente tende a
, isto é
Como as limites laterais não são finitas e são opostos, o limite central não existe (nem como número finito), portanto
não é derivável em
.
Passo 6
Comentário pedagógico (curto e prático):
- Ambos os exemplos são bem simples e ilustram duas causas diferentes para a não derivabilidade em um ponto interior:
- para
a não derivabilidade vem de um “canto” (corner): os coeficientes angulares à esquerda e à direita são finitos e diferentes ( e ); - para
a não derivabilidade vem de uma “cúspide” (cusp): as diferenças quocientes divergem (tendem a ), logo não existe derivada finita.
- para
- Em provas, uma estratégia direta é sempre usar a definição de derivada por limite das diferenças quocientes e calcular os limites laterais; se forem diferentes ou não finitos, conclui-se que a derivada não existe.
- Observação útil: ambas as funções são deriváveis em todo ponto de
exceto (por exemplo, para , e ; para , e ).