Dê dois exemplos distintos de funções contínuas e positivas no intervalo [-1,1] e que não possuam derivada em um ponto de (-1,1).

Passo 1

O problema pede: dar dois exemplos distintos de funções que satisfazem simultaneamente as três propriedades abaixo:
  • são contínuas no intervalo [-1,1];
  • são estritamente positivas em todo o intervalo [-1,1] (ou seja, tomam valores >0 em cada ponto de [-1,1]);
  • não possuem derivada em algum ponto interior de (-1,1) (ou seja, existe c\in(-1,1) tal que a derivada não existe em c).
Informações relevantes que vou usar:
  • a definição de derivada em um ponto a é
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
quando esse limite existe (é finito e único).
  • para mostrar que a derivada NÃO existe em a basta mostrar que os limites laterais
\lim_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{e}\qquad \lim_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
são diferentes ou que algum deles não é finito.

Passo 2

Primeiro exemplo: proponho a função
f_1(x)=1+|x|.
Vou verificar as três propriedades pedidas.
Continuidade: a função |x| é contínua em todo \mathbb{R}, somando a constante 1 continua-se a obter uma função contínua; logo f_1 é contínua em [-1,1].
Positividade: para todo x\in[-1,1] tem-se |x|\ge0, logo f_1(x)=1+|x|\ge1>0. Portanto f_1 é positiva em [-1,1].
Não diferenciabilidade em um ponto interior: vou estudar a derivabilidade em x=0 (que pertence a (-1,1)). Use a definição de derivada em 0. Note que f_1(0)=1. Calculo as diferenças quociente laterais.

Passo 3

Cálculo das derivadas laterais de f_1 em 0.
Para h>0,
\frac{f_1(0+h)-f_1(0)}{h}=\frac{1+|h|-1}{h}=\frac{|h|}{h}=\frac{h}{h}=1.
Tomando limite h\to0^+ obtemos
\lim_{h\to0^+}\frac{f_1(0+h)-f_1(0)}{h}=1.
Para h<0,
\frac{f_1(0+h)-f_1(0)}{h}=\frac{1+|h|-1}{h}=\frac{|h|}{h}=\frac{-h}{h}=-1.
Tomando limite h\to0^- obtemos
\lim_{h\to0^-}\frac{f_1(0+h)-f_1(0)}{h}=-1.
Como os limites laterais são diferentes ( 1 e -1), o limite central não existe; portanto f_1 não é derivável em 0. Concluímos que f_1 satisfaz todas as condições.

Passo 4

Segundo exemplo: proponho a função
f_2(x)=1+\sqrt{|x|}.
Vou verificar as três propriedades pedidas (continuidade, positividade, não diferenciabilidade em ponto interior).
Continuidade: a função x\mapsto\sqrt{|x|} é contínua em todo \mathbb{R} (a composição de contínuas |x| e \sqrt{\cdot} em [0,\infty) é contínua); somando a constante 1 obtemos continuidade em [-1,1]. Logo f_2 é contínua em [-1,1].
Positividade: para todo x\in[-1,1] tem-se \sqrt{|x|}\ge0, então f_2(x)=1+\sqrt{|x|}\ge1>0. Logo f_2 é positiva no intervalo.
Agora verifico a derivabilidade em x=0 (novamente um ponto de (-1,1)).

Passo 5

Cálculo das diferenças quociente de f_2 em 0.
Como f_2(0)=1, para h>0 temos
\frac{f_2(0+h)-f_2(0)}{h}=\frac{1+\sqrt{h}-1}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}.
Quando h\to0^+ esse quociente tende a +\infty, ou seja
\lim_{h\to0^+}\frac{f_2(0+h)-f_2(0)}{h}=+\infty.
Para h<0 (escrevendo h=-t com t>0) temos
\frac{f_2(0+h)-f_2(0)}{h}=\frac{1+\sqrt{|h|}-1}{h}=\frac{\sqrt{t}}{-t}=-\frac{1}{\sqrt{t}}.
Quando h\to0^- (ou t\to0^+) esse quociente tende a -\infty, isto é
\lim_{h\to0^-}\frac{f_2(0+h)-f_2(0)}{h}=-\infty.
Como as limites laterais não são finitas e são opostos, o limite central não existe (nem como número finito), portanto f_2 não é derivável em 0.

Passo 6

Comentário pedagógico (curto e prático):
  • Ambos os exemplos são bem simples e ilustram duas causas diferentes para a não derivabilidade em um ponto interior:
    • para f_1(x)=1+|x| a não derivabilidade vem de um “canto” (corner): os coeficientes angulares à esquerda e à direita são finitos e diferentes ( -1 e 1);
    • para f_2(x)=1+\sqrt{|x|} a não derivabilidade vem de uma “cúspide” (cusp): as diferenças quocientes divergem (tendem a \pm\infty), logo não existe derivada finita.
  • Em provas, uma estratégia direta é sempre usar a definição de derivada por limite das diferenças quocientes e calcular os limites laterais; se forem diferentes ou não finitos, conclui-se que a derivada não existe.
  • Observação útil: ambas as funções são deriváveis em todo ponto de (-1,1) exceto 0 (por exemplo, para x>0, f_1'(x)=1 e f_2'(x)=1/(2\sqrt{x}); para x<0, f_1'(x)=-1 e f_2'(x)=-1/(2\sqrt{|x|})).

Resposta

f_1(x)=1+|x| (contínua e positiva em [-1,1], não derivável em 0).
f_2(x)=1+\sqrt{|x|} (contínua e positiva em [-1,1], não derivável em 0).

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