Dê dois exemplos de sequências não limitadas diferentes daquelas que constam nos exercícios 2 e 3 .

Passo 1

O enunciado pede: “Dê dois exemplos de sequências não limitadas diferentes daquelas que constam nos exercícios 2 e 3.” As informações relevantes que temos:
  • É solicitado fornecer dois exemplos de sequências (ou seja, duas sequências distintas).
  • Essas sequências devem ser não limitadas (ou seja, unbounded).
  • Devem ser diferentes das sequências que aparecem nos exercícios 2 e 3 (como não tenho acesso a esses exercícios, escolherei duas sequências muito simples e claramente distintas, uma que diverge para +\infty e outra que oscila de modo não limitado).

Passo 2

O que significa “sequência não limitada” — definição e como provar na prova.
Definição (forma prática para usar na prova). Uma sequência (x_n) é não limitada (ou seja, unbounded) se vale:
\text{para todo }M>0\text{ existe }n\in\mathbb{N}\text{ tal que }|x_n|>M.
Essa é a definição que convém usar em provas: dado um M>0 arbitrário, você precisa encontrar um índice n (dependendo de M) que torne |x_n| maior que M.
Duas estratégias úteis em prova:
  1. Exhibir uma fórmula explícita para um índice n em função de M (por exemplo n=\lfloor M\rfloor+1) e calcular |x_n|.
  2. Mostrar que existe uma subsequência cuja norma tende a +\infty (se uma subsequência tem |·|→∞, a sequência inteira é não limitada).

Passo 3

Exemplo 1: a sequência \displaystyle a_n = n.
Prova de que (a_n) é não limitada, usando a definição. Seja M>0 arbitrário. Tome
n=\lfloor M\rfloor+1,
onde \lfloor M\rfloor é a parte inteira de M. Então n\in\mathbb{N} e n>M (pois \lfloor M\rfloor\le M<\lfloor M\rfloor+1). Portanto
|a_n| = |n| = n > M.
Como isso vale para qualquer M>0, por definição (a_n) é não limitada. Comentário prático para prova de prova: essa é a maneira mais direta e costuma ganhar pontos — escolhe-se n=\lfloor M\rfloor+1 ou simplesmente "escolha n inteiro tal que n>M".

Passo 4

Exemplo 2: a sequência \displaystyle b_n = (-1)^n n.
Intuição: (b_n) oscila com termos cada vez maiores em módulo (valores alternadamente grandes e positivos e grandes e negativos), por isso não é limitada. Agora a prova formal.
Prova com módulo (mesma técnica do exemplo 1). Seja M>0 arbitrário. Tome
n=\lfloor M\rfloor+1.
Então n>M e
|b_n| = |(-1)^n n| = n > M.
Portanto, por definição, (b_n) é não limitada.
Prova alternativa (usando subsequências), que é útil em provas quando a sequência oscila: considere as subsequências pares e ímpares:
b_{2k}=(-1)^{2k}(2k)=2k\longrightarrow +\infty \qquad\text{e}\qquad b_{2k+1}=(-1)^{2k+1}(2k+1)=-(2k+1)\longrightarrow -\infty.
Como existe subsequência cujo módulo tende a +\infty (por exemplo |b_{2k}|=2k\to+\infty), a sequência inteira é não limitada.

Passo 5

Resumo prático para a prova (dicas rápidas e encorajamento):
  • Para demonstrar que uma sequência é não limitada, use sempre a definição: para qualquer M>0 encontre um índice n com |x_n|>M. Escolher n=\lfloor M\rfloor+1 resolve muitos casos simples.
  • Se a sequência diverge monotonicamente para +\infty (por exemplo n, n^2, 2^n), isso já implica não ser limitada.
  • Se a sequência oscila, tente encontrar uma subsequência cujo módulo cresce sem limite (isso é suficiente).
  • Você está indo bem — escolher exemplos simples como os acima é exatamente o que o professor espera numa prova.

Resposta

\displaystyle a_n = n
\displaystyle b_n = (-1)^n n

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