Dê dois exemplos de sequências não limitadas diferentes daquelas que constam nos exercícios 2 e 3 .
Passo 1
O enunciado pede: “Dê dois exemplos de sequências não limitadas diferentes daquelas que constam nos exercícios 2 e 3.” As informações relevantes que temos:
- É solicitado fornecer dois exemplos de sequências (ou seja, duas sequências distintas).
- Essas sequências devem ser não limitadas (ou seja, unbounded).
- Devem ser diferentes das sequências que aparecem nos exercícios 2 e 3 (como não tenho acesso a esses exercícios, escolherei duas sequências muito simples e claramente distintas, uma que diverge para
e outra que oscila de modo não limitado).
Passo 2
O que significa “sequência não limitada” — definição e como provar na prova.
Definição (forma prática para usar na prova). Uma sequência
é não limitada (ou seja, unbounded) se vale:
Essa é a definição que convém usar em provas: dado um
arbitrário, você precisa encontrar um índice
(dependendo de
) que torne
maior que
.
Duas estratégias úteis em prova:
- Exhibir uma fórmula explícita para um índice
em função de (por exemplo ) e calcular . - Mostrar que existe uma subsequência cuja norma tende a
(se uma subsequência tem |·|→∞, a sequência inteira é não limitada).
Passo 3
Exemplo 1: a sequência
.
Prova de que
é não limitada, usando a definição. Seja
arbitrário. Tome
onde
é a parte inteira de
. Então
e
(pois
). Portanto
Como isso vale para qualquer
, por definição
é não limitada. Comentário prático para prova de prova: essa é a maneira mais direta e costuma ganhar pontos — escolhe-se
ou simplesmente "escolha
inteiro tal que
".
Passo 4
Exemplo 2: a sequência
.
Intuição:
oscila com termos cada vez maiores em módulo (valores alternadamente grandes e positivos e grandes e negativos), por isso não é limitada. Agora a prova formal.
Prova com módulo (mesma técnica do exemplo 1). Seja
arbitrário. Tome
Então
e
Portanto, por definição,
é não limitada.
Prova alternativa (usando subsequências), que é útil em provas quando a sequência oscila: considere as subsequências pares e ímpares:
Como existe subsequência cujo módulo tende a
(por exemplo
), a sequência inteira é não limitada.
Passo 5
Resumo prático para a prova (dicas rápidas e encorajamento):
- Para demonstrar que uma sequência é não limitada, use sempre a definição: para qualquer
encontre um índice com . Escolher resolve muitos casos simples. - Se a sequência diverge monotonicamente para
(por exemplo , , ), isso já implica não ser limitada. - Se a sequência oscila, tente encontrar uma subsequência cujo módulo cresce sem limite (isso é suficiente).
- Você está indo bem — escolher exemplos simples como os acima é exatamente o que o professor espera numa prova.