Se a_{n} e b_{n} são duas sequências convergentes e c é uma constante, mostre que:
se \lim b_{n} \neq 0 então \lim \left(a_{n} / b_{n}\right)=\lim a_{n} / \lim b_{n};
Passo 1
O enunciado dá duas sequências convergentes e uma constante:
a_{n} converge para um limite que vou chamar de A. Ou seja, \lim a_{n}=A.
b_{n} converge para um limite que vou chamar de B. Ou seja, \lim b_{n}=B.
ou seja, provar que a sequência \left(\dfrac{a_{n}}{b_{n}}\right) converge para \dfrac{A}{B} quando B\neq 0.
Passo 2
Vou relembrar a definição de convergência que vou usar (a versão \varepsilon-N) e algumas propriedades úteis:
Definição: dizer que \lim a_{n}=A significa que, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|a_{n}-A|<\varepsilon.
Mesma coisa para \lim b_{n}=B.
Uma consequência prática: se b_{n}\to B e B\neq 0, então existe N_{0} tal que, para todo n\ge N_{0}, b_{n} fica distante de zero; em particular |b_{n}| tem um limite inferior positivo (vou tornar isso preciso no próximo passo).
Também vou usar desigualdades básicas (desigualdade triangular) e manipulações algébricas para estimar \left|\dfrac{a_{n}}{b_{n}}-\dfrac{A}{B}\right| em função de |a_{n}-A| e |b_{n}-B|.
Passo 3
Garantir que os denominadores não fiquem muito pequenos: como b_{n}\to B e B\neq 0, escolha \delta=\dfrac{|B|}{2}>0. Pela definição de convergência existe N_{0} tal que, para todo n\ge N_{0},
Pela desigualdade do passo anterior é suficiente garantir que os dois termos no lado direito sejam pequenos. Vou escolher tolerâncias para |a_{n}-A| e |b_{n}-B| que façam cada termo menor que \dfrac{\varepsilon}{2}.
Escolha \delta_{1} tal que
\delta_{1}=\frac{|B|\,\varepsilon}{4}.
Como a_{n}\to A, existe N_{1} tal que, para todo n\ge N_{1},
Se, no caso especial, A=0, então C_{2}=0 e o segundo termo já é 0 para qualquer n, portanto não é necessário escolher N_{2} (pode-se tomar N_{2}=1).
Agora tome
N=\max\{N_{0},\,N_{1},\,N_{2}\}.
Então, para todo n\ge N temos simultaneamente |b_{n}|\ge \dfrac{|B|}{2}, |a_{n}-A|<\delta_{1} e |b_{n}-B|<\delta_{2} (quando A\neq 0; no caso A=0 a condição sobre |b_{n}-B| não é necessária). Assim, pela desigualdade do passo 4,
Isso mostra precisamente que \dfrac{a_{n}}{b_{n}}\to \dfrac{A}{B}.
Passo 6
Resumo didático rápido e motivo prático: a ideia central foi controlar o erro da razão por duas fontes de erro — a diferença de a_{n} para A e a diferença de b_{n} para B — e usar o fato de que b_{n} não se aproxima de zero (porque B\neq 0) para evitar divisões por algo muito pequeno. Com as escolhas adequadas de tolerâncias (\delta_{1} e \delta_{2}) fica fácil garantir que a soma dos dois erros seja menor que um \varepsilon arbitrário, provando a convergência da razão.