Se a_{n} e b_{n} são duas sequências convergentes e c é uma constante, mostre que:
se \lim b_{n} \neq 0 então \lim \left(a_{n} / b_{n}\right)=\lim a_{n} / \lim b_{n};

Passo 1

O enunciado dá duas sequências convergentes e uma constante:
  • a_{n} converge para um limite que vou chamar de A. Ou seja, \lim a_{n}=A.
  • b_{n} converge para um limite que vou chamar de B. Ou seja, \lim b_{n}=B.
  • É dado que B\neq 0.
O que pedem: mostrar que
\lim\left(\frac{a_{n}}{b_{n}}\right)=\frac{\lim a_{n}}{\lim b_{n}}=\frac{A}{B},
ou seja, provar que a sequência \left(\dfrac{a_{n}}{b_{n}}\right) converge para \dfrac{A}{B} quando B\neq 0.

Passo 2

Vou relembrar a definição de convergência que vou usar (a versão \varepsilon- N) e algumas propriedades úteis:
  • Definição: dizer que \lim a_{n}=A significa que, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|a_{n}-A|<\varepsilon.
Mesma coisa para \lim b_{n}=B.
  • Uma consequência prática: se b_{n}\to B e B\neq 0, então existe N_{0} tal que, para todo n\ge N_{0}, b_{n} fica distante de zero; em particular |b_{n}| tem um limite inferior positivo (vou tornar isso preciso no próximo passo).
  • Também vou usar desigualdades básicas (desigualdade triangular) e manipulações algébricas para estimar \left|\dfrac{a_{n}}{b_{n}}-\dfrac{A}{B}\right| em função de |a_{n}-A| e |b_{n}-B|.

Passo 3

Garantir que os denominadores não fiquem muito pequenos: como b_{n}\to B e B\neq 0, escolha \delta=\dfrac{|B|}{2}>0. Pela definição de convergência existe N_{0} tal que, para todo n\ge N_{0},
|b_{n}-B|<\frac{|B|}{2}.
Então, para n\ge N_{0},
|b_{n}| \ge |\,|B|-|b_{n}-B|\,| \ge |B|-\frac{|B|}{2}=\frac{|B|}{2}.
Portanto a partir de N_{0} todos os b_{n} têm módulo pelo menos \dfrac{|B|}{2}>0, o que permite dividir por b_{n} sem problemas.

Passo 4

Estimar a diferença entre a razão e a razão dos limites. Para qualquer n com b_{n}\neq 0 (em particular para n\ge N_{0}) temos:
\left|\frac{a_{n}}{b_{n}}-\frac{A}{B}\right| = \left|\frac{a_{n}B - A b_{n}}{b_{n}B}\right| = \left|\frac{B(a_{n}-A) + A(B-b_{n})}{b_{n}B}\right|.
Aplicando a desigualdade triangular,
\left|\frac{a_{n}}{b_{n}}-\frac{A}{B}\right| \le \frac{|B|\,|a_{n}-A| + |A|\,|b_{n}-B|}{|b_{n}||B|}.
Usando a estimativa |b_{n}|\ge \dfrac{|B|}{2} para n\ge N_{0}, obtém-se
\left|\frac{a_{n}}{b_{n}}-\frac{A}{B}\right| \le \frac{|B|\,|a_{n}-A| + |A|\,|b_{n}-B|}{\frac{|B|}{2}\,|B|} = \frac{2}{|B|}\,|a_{n}-A| + \frac{2|A|}{|B|^{2}}\,|b_{n}-B|.
Defina constantes positivas
C_{1}=\frac{2}{|B|},\qquad C_{2}=\frac{2|A|}{|B|^{2}}.
Então, para n\ge N_{0},
\left|\frac{a_{n}}{b_{n}}-\frac{A}{B}\right| \le C_{1}\,|a_{n}-A| + C_{2}\,|b_{n}-B|.

Passo 5

Fazer o argumento \varepsilon- N. Tome um \varepsilon>0 qualquer. Quero mostrar que existe N tal que, para n\ge N,
\left|\frac{a_{n}}{b_{n}}-\frac{A}{B}\right|<\varepsilon.
Pela desigualdade do passo anterior é suficiente garantir que os dois termos no lado direito sejam pequenos. Vou escolher tolerâncias para |a_{n}-A| e |b_{n}-B| que façam cada termo menor que \dfrac{\varepsilon}{2}.
  • Escolha \delta_{1} tal que
\delta_{1}=\frac{|B|\,\varepsilon}{4}.
Como a_{n}\to A, existe N_{1} tal que, para todo n\ge N_{1},
|a_{n}-A|<\delta_{1}.
Com essa escolha,
C_{1}|a_{n}-A| \le C_{1}\delta_{1} = \frac{2}{|B|}\cdot\frac{|B|\,\varepsilon}{4} = \frac{\varepsilon}{2}.
  • Agora escolha \delta_{2} para o segundo termo. Se A\neq 0 defina
\delta_{2}=\frac{|B|^{2}\,\varepsilon}{4|A|},
e, como b_{n}\to B, existe N_{2} tal que, para todo n\ge N_{2},
|b_{n}-B|<\delta_{2}.
Com essa escolha,
C_{2}|b_{n}-B| \le C_{2}\delta_{2} = \frac{2|A|}{|B|^{2}}\cdot\frac{|B|^{2}\,\varepsilon}{4|A|} = \frac{\varepsilon}{2}.
Se, no caso especial, A=0, então C_{2}=0 e o segundo termo já é 0 para qualquer n, portanto não é necessário escolher N_{2} (pode-se tomar N_{2}=1).
Agora tome
N=\max\{N_{0},\,N_{1},\,N_{2}\}.
Então, para todo n\ge N temos simultaneamente |b_{n}|\ge \dfrac{|B|}{2}, |a_{n}-A|<\delta_{1} e |b_{n}-B|<\delta_{2} (quando A\neq 0; no caso A=0 a condição sobre |b_{n}-B| não é necessária). Assim, pela desigualdade do passo 4,
\left|\frac{a_{n}}{b_{n}}-\frac{A}{B}\right| \le C_{1}|a_{n}-A| + C_{2}|b_{n}-B| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Isso mostra precisamente que \dfrac{a_{n}}{b_{n}}\to \dfrac{A}{B}.

Passo 6

Resumo didático rápido e motivo prático: a ideia central foi controlar o erro da razão por duas fontes de erro — a diferença de a_{n} para A e a diferença de b_{n} para B — e usar o fato de que b_{n} não se aproxima de zero (porque B\neq 0) para evitar divisões por algo muito pequeno. Com as escolhas adequadas de tolerâncias ( \delta_{1} e \delta_{2}) fica fácil garantir que a soma dos dois erros seja menor que um \varepsilon arbitrário, provando a convergência da razão.

Resposta

\displaystyle \lim\left(\frac{a_{n}}{b_{n}}\right)=\frac{\lim a_{n}}{\lim b_{n}}=\frac{A}{B}

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