Dê dois exemplos de sequências limitadas diferentes daquelas que constam nos exercícios 2 e 3.

Passo 1

O enunciado pede que eu dê dois exemplos de sequências limitadas que sejam diferentes daquelas que aparecem nos exercícios 2 e 3. Informações relevantes que tenho agora:
  • Preciso fornecer exatamente dois exemplos de sequências numéricas.
  • Cada sequência deve ser limitada (isto é, existir uma constante que sirva de limite superior em valor absoluto para todos os termos).
  • Não sei quais são as sequências dos exercícios 2 e 3, então escolherei duas sequências simples e claramente distintas entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa “sequência limitada” de forma bem clara e prática. A definição é:
\text{Uma sequência }(x_n)_{n\ge1}\text{ é limitada se existe }M>0\text{ tal que }|x_n|\le M\text{ para todo }n\ge1.êé
Aqui x_n é o n-ésimo termo da sequência e |x_n| é o valor absoluto de x_n. Ou seja: basta encontrar um número M que funcione para todos os n. Vou mostrar isso passo a passo para cada exemplo.

Passo 3

Critério prático para provar que uma sequência é limitada (passo a passo que dá para usar na prova):
  1. Escreve a expressão do termo geral da sequência x_n.
  2. Calcula ou estima |x_n|.
  3. Encontra um M>0 que satisfaça |x_n|\le M para todo n.
  4. Conclui que a sequência é limitada, pois tal M existe.
Agora aplico esse procedimento a duas sequências concretas.

Passo 4

Exemplo 1: a sequência a_n definida por
a_n = (-1)^n.
Prova de que (a_n) é limitada:
  • Para todo n temos a_n igual a 1 ou -1.
  • Então |a_n| = 1 para todo n.
  • Portanto podemos escolher M=1 e obter |a_n|\le 1 para todo n.
    Conclusão: a sequência (a_n) é limitada (pelo número 1). Observação intuitiva: essa sequência “oscila” entre -1 e 1, nunca sai desse intervalo.

Passo 5

Exemplo 2: a sequência b_n definida por
b_n = \frac{n}{n+1},\qquad n\ge1.
Prova de que (b_n) é limitada:
  • Para n\ge1 temos n>0 e n+1>n, então
0 < \frac{n}{n+1} < 1.
  • Portanto |b_n| = b_n < 1 para todo n.
  • Podemos escolher M=1 e obter |b_n|\le 1 para todo n.
    Conclusão: a sequência (b_n) é limitada (pelo número 1). Observação: b_n é uma sequência crescente que converge para 1, mas mesmo antes de convergir já está sempre entre 0 e 1.

Passo 6

Breve comentário didático para fixar: qualquer sequência constante c_n=c é limitada (basta M=|c|). Sequências com termos trigonométricos como \sin n ou \cos n também são limitadas porque seus valores absolutos nunca excedem 1. Já uma sequência como \dfrac{n^2}{n+1} não é limitada (vai para infinito). Na prova de limites ou provas em que peçam mostrar “limitada”, seguir o procedimento do Passo 3 funciona sempre.

Resposta

\displaystyle a_n = (-1)^n
\displaystyle b_n = \frac{n}{n+1}

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