Dê dois exemplos de sequências limitadas diferentes daquelas que constam nos exercícios 2 e 3.
Passo 1
O enunciado pede que eu dê dois exemplos de sequências limitadas que sejam diferentes daquelas que aparecem nos exercícios 2 e 3. Informações relevantes que tenho agora:
- Preciso fornecer exatamente dois exemplos de sequências numéricas.
- Cada sequência deve ser limitada (isto é, existir uma constante que sirva de limite superior em valor absoluto para todos os termos).
- Não sei quais são as sequências dos exercícios 2 e 3, então escolherei duas sequências simples e claramente distintas entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa “sequência limitada” de forma bem clara e prática. A definição é:
Aqui
é o
-ésimo termo da sequência e
é o valor absoluto de
. Ou seja: basta encontrar um número
que funcione para todos os
. Vou mostrar isso passo a passo para cada exemplo.
Passo 3
Critério prático para provar que uma sequência é limitada (passo a passo que dá para usar na prova):
- Escreve a expressão do termo geral da sequência
. - Calcula ou estima
. - Encontra um
que satisfaça para todo . - Conclui que a sequência é limitada, pois tal
existe.
Agora aplico esse procedimento a duas sequências concretas.
Passo 4
Exemplo 1: a sequência
definida por
Prova de que
é limitada:
- Para todo
temos igual a ou . - Então
para todo . - Portanto podemos escolher
e obter para todo .
Conclusão: a sequênciaé limitada (pelo número ). Observação intuitiva: essa sequência “oscila” entre e , nunca sai desse intervalo.
Passo 5
Exemplo 2: a sequência
definida por
Prova de que
é limitada:
- Para
temos e , então
- Portanto
para todo . - Podemos escolher
e obter para todo .
Conclusão: a sequênciaé limitada (pelo número ). Observação: é uma sequência crescente que converge para , mas mesmo antes de convergir já está sempre entre e .
Passo 6
Breve comentário didático para fixar: qualquer sequência constante
é limitada (basta
). Sequências com termos trigonométricos como
ou
também são limitadas porque seus valores absolutos nunca excedem
. Já uma sequência como
não é limitada (vai para infinito). Na prova de limites ou provas em que peçam mostrar “limitada”, seguir o procedimento do Passo 3 funciona sempre.