Dois fios infinitos estão separados por uma distância 2 d , com cargas iguais e opostas
. Qual é a força entre eles?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- Dois fios infinitos (isto é, de comprimento infinito) estão paralelos entre si e separados por uma distância
. - As densidades lineares de carga são iguais em módulo e de sinais opostos: uma tem
e a outra tem . - Pergunta: qual é a força entre eles?
Observação importante (dada pela própria situação): como os fios são infinitos, a força total entre eles seria infinita. Por isso o que faz sentido calcular é a força por unidade de comprimento (força linear) — ou seja
. Vou encontrar essa quantidade.
Passo 2
Escolha do método (sem resolver ainda): para fios infinitos o jeito mais direto é usar o campo elétrico gerado por um fio com densidade linear
e então calcular a força sobre o outro fio usando a relação força = carga × campo. Isso evita integrar a força elemento a elemento. Não é necessário assumir outras coisas complicadas; o campo ao redor de um fio infinito é um resultado padrão que vamos deduzir rapidamente com a Lei de Gauss.
Passo 3
Breve aula: campo elétrico de um fio infinito com densidade linear
.
- Considere um fio infinito retilíneo que tem densidade linear de carga
(unidade: carga por comprimento). - Pelo problema da simetria (infinito e retilíneo), o campo elétrico tem direção radial (afasta-se do fio se
e aponta para o fio se ) e a magnitude depende só da distância ao fio. - Para achar a magnitude
usamos a Lei de Gauss: escolha uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com o fio, raio e comprimento .
Aplicando a Lei de Gauss:
A única contribuição ao fluxo vem da superfície lateral do cilindro (as tampas não contribuem porque
é tangencial às tampas). Como
é uniforme sobre a lateral e perpendicular à superfície,
Cancelando
,
Explicação das variáveis:
é a magnitude do campo elétrico a uma distância
do fio;
é a densidade linear de carga;
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Aplicando ao nosso problema: as duas linhas estão separadas por distância
. Tome a linha com carga
e calcule o campo que ela produz no local onde está a outra linha (ou seja, a uma distância
do primeiro fio). Usando a fórmula do passo anterior,
Direção do campo: se o fio que gera o campo tem carga
, o campo no ponto do outro fio aponta radialmente para fora do fio positivo, isto é, aponta na direção do fio com carga negativa (logo haverá atração).
Passo 5
Força sobre o segundo fio (por unidade de comprimento).
- A segunda linha tem densidade
. A força sobre um pedaço de comprimento desse fio é
- Como queremos força por unidade de comprimento, dividimos por
:
Substituindo
do passo anterior (e lembrando que
em módulo),
O sinal negativo indica que a força está dirigida de encontro ao gerador do campo — ou seja, é uma força de atração entre os fios (cada fio atrai o outro).
Passo 6
Resumo interpretativo e check rápido: a magnitude da força por unidade de comprimento é
. O resultado tem as dimensões corretas (força por comprimento) e o sentido físico esperado (cargas de sinais opostos se atraem). Se as cargas tivessem mesmo sinal, o resultado seria o mesmo em módulo, mas com sinal positivo (repulsão).