Dois fios infinitos estão separados por uma distância 2 d , com cargas iguais e opostas \lambda \mathrm{e}-\lambda. Qual é a força entre eles?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Dois fios infinitos (isto é, de comprimento infinito) estão paralelos entre si e separados por uma distância \,2d\,.
  • As densidades lineares de carga são iguais em módulo e de sinais opostos: uma tem \,\lambda\, e a outra tem -\lambda.
  • Pergunta: qual é a força entre eles?
Observação importante (dada pela própria situação): como os fios são infinitos, a força total entre eles seria infinita. Por isso o que faz sentido calcular é a força por unidade de comprimento (força linear) — ou seja \dfrac{F}{L}. Vou encontrar essa quantidade.

Passo 2

Escolha do método (sem resolver ainda): para fios infinitos o jeito mais direto é usar o campo elétrico gerado por um fio com densidade linear \lambda e então calcular a força sobre o outro fio usando a relação força = carga × campo. Isso evita integrar a força elemento a elemento. Não é necessário assumir outras coisas complicadas; o campo ao redor de um fio infinito é um resultado padrão que vamos deduzir rapidamente com a Lei de Gauss.

Passo 3

Breve aula: campo elétrico de um fio infinito com densidade linear \lambda.
  • Considere um fio infinito retilíneo que tem densidade linear de carga \lambda (unidade: carga por comprimento).
  • Pelo problema da simetria (infinito e retilíneo), o campo elétrico tem direção radial (afasta-se do fio se \lambda>0 e aponta para o fio se \lambda<0) e a magnitude depende só da distância r ao fio.
  • Para achar a magnitude E(r) usamos a Lei de Gauss: escolha uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com o fio, raio r e comprimento L.
Aplicando a Lei de Gauss:
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}.
A única contribuição ao fluxo vem da superfície lateral do cilindro (as tampas não contribuem porque \mathbf{E} é tangencial às tampas). Como \mathbf{E} é uniforme sobre a lateral e perpendicular à superfície,
E(r)\cdot (2\pi r L) = \frac{\lambda L}{\epsilon_0}.
Cancelando L,
\boxed{E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}.}
Explicação das variáveis: \,E(r)\, é a magnitude do campo elétrico a uma distância \,r\, do fio; \lambda é a densidade linear de carga; \epsilon_0 é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Aplicando ao nosso problema: as duas linhas estão separadas por distância \,2d. Tome a linha com carga \lambda e calcule o campo que ela produz no local onde está a outra linha (ou seja, a uma distância r=2d do primeiro fio). Usando a fórmula do passo anterior,
E\big(r=2d\big)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0(2d)}=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0 d}.
Direção do campo: se o fio que gera o campo tem carga +\lambda, o campo no ponto do outro fio aponta radialmente para fora do fio positivo, isto é, aponta na direção do fio com carga negativa (logo haverá atração).

Passo 5

Força sobre o segundo fio (por unidade de comprimento).
  • A segunda linha tem densidade -\lambda. A força sobre um pedaço de comprimento L desse fio é
F = (\text{carga no trecho}) \times (\text{campo}) = \big((- \lambda)L\big)\times E.
  • Como queremos força por unidade de comprimento, dividimos por L:
\frac{F}{L}=(-\lambda)\,E.
Substituindo E do passo anterior (e lembrando que \lambda>0 em módulo),
\frac{F}{L}=(-\lambda)\cdot\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0 d} = -\frac{\lambda^2}{4\pi\epsilon_0 d}.
O sinal negativo indica que a força está dirigida de encontro ao gerador do campo — ou seja, é uma força de atração entre os fios (cada fio atrai o outro).

Passo 6

Resumo interpretativo e check rápido: a magnitude da força por unidade de comprimento é \dfrac{\lambda^2}{4\pi\epsilon_0 d}. O resultado tem as dimensões corretas (força por comprimento) e o sentido físico esperado (cargas de sinais opostos se atraem). Se as cargas tivessem mesmo sinal, o resultado seria o mesmo em módulo, mas com sinal positivo (repulsão).

Resposta

\displaystyle \frac{F}{L}=-\frac{\lambda^{2}}{4\pi\epsilon_{0}d} (força por unidade de comprimento, sinal negativo indica atração; magnitude \dfrac{\lambda^{2}}{4\pi\epsilon_{0}d}).

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