Um cilindro sólido muito longo de raio a possui uma carga distribuída com densidade de carga \rho=-A r^{2}, onde A é uma constante positiva. Determine o valor do campo elétrico dentro e próximo à parte externa do cilindro, em pontos distantes de suas extremidades.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o campo elétrico em pontos dentro do cilindro e próximos à sua parte externa, assumindo que estamos longe das extremidades (ou seja, o cilindro pode ser tratado como “infinito” para efeitos locais). Informações dadas e perguntas explícitas:
  • O cilindro é muito longo (podemos ignorar efeitos de borda).
  • O raio do cilindro é a.
  • A densidade de carga volumétrica é \rho(r) = -A r^{2}, com A>0. Aqui r é a distância radial ao eixo do cilindro.
  • Perguntas: encontrar o campo elétrico \mathbf{E} para
    • pontos com r<a (dentro do cilindro);
    • pontos com r>a (fora, próximo à parte externa).
Todos os parâmetros relevantes foram listados: a, A, e a dependência radial \rho(r).

Passo 2

Por simetria cilíndrica (o enunciado diz que o cilindro é muito longo e a densidade depende só de r), o campo elétrico só pode ter componente radial e depende apenas de r: \mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{r}. Para explorar isso usamos a forma integral da lei de Gauss:
\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total dentro do volume fechado V e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Escolhemos como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio r e comprimento L. Justificativas práticas:
  • A superfície lateral do cilindro gaussiano tem área 2\pi r L e o campo é perpendicular a ela (colinear com \hat r), então contribui totalmente para o fluxo.
  • As tampas (as faces planas em ambos os extremos) têm normais paralelas ao eixo; como \mathbf{E} é radial, \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0 nessas faces. Assim só a lateral importa.
    Logo a lei de Gauss reduz-se a
E(r)\,(2\pi r L)=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_{0}}.
Explico as letras: E(r) é o módulo do campo na superfície gaussiana, L é um comprimento arbitrário (cancela depois), e Q_{\text{int}}(r) é a carga contida no cilindro de raio r e comprimento L.

Passo 3

Agora calculamos Q_{\text{int}}(r) por integração da densidade volumétrica. Um anel cilíndrico de raio entre r' e r'+dr' tem volume dV = (2\pi r' L)\,dr'. A carga nesse anel é dq=\rho(r')\,dV. Então
Q_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r} \rho(r')\,(2\pi r' L)\,dr'.
Substituindo \rho(r')=-A r'^{2}
Q_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r} \big(-A r'^{2}\big)\,(2\pi r' L)\,dr' = -2\pi A L \int_{0}^{r} r'^{3}\,dr'.
Calcule a integral:
\int_{0}^{r} r'^{3}\,dr'=\left.\frac{r'^{4}}{4}\right|_{0}^{r}=\frac{r^{4}}{4}.
Portanto
Q_{\text{int}}(r)=-2\pi A L \cdot \frac{r^{4}}{4} = -\frac{\pi}{2} A L r^{4}.

Passo 4

Substituímos Q_{\text{int}}(r) na expressão de Gauss:
E(r)\,(2\pi r L)=\frac{-\dfrac{\pi}{2} A L r^{4}}{\varepsilon_{0}}.
Agora simplificamos passo a passo. Primeiro cancele L (o comprimento escolhido) dos dois lados. Em seguida divida ambos os lados por 2\pi r:
E(r)=\frac{-\dfrac{\pi}{2} A r^{4}}{\varepsilon_{0}\,(2\pi r)} = -\frac{A r^{3}}{4\varepsilon_{0}}.
Portanto, para r\le a (dentro do cilindro) o campo é
\mathbf{E}(r) = -\frac{A r^{3}}{4\varepsilon_{0}}\,\hat{r}.
Interpretação física do sinal: o sinal negativo indica que \mathbf{E} aponta para -\hat{r}, ou seja, radialmente para dentro (em direção ao eixo). Isso faz sentido porque a densidade \rho é negativa, então as cargas são negativas e atraem cargas positivas para o eixo.

Passo 5

Agora calculamos o campo fora do cilindro, para r\ge a. Nesse caso Q_{\text{int}} é a carga total contida no cilindro de raio a. Reaplicamos a integral anterior com r substituído por a:
Q_{\text{tot}}=Q_{\text{int}}(a)=-\frac{\pi}{2} A L a^{4}.
Usando a lei de Gauss para uma superfície cilíndrica de raio r\ge a:
E(r)\,(2\pi r L)=\frac{Q_{\text{tot}}}{\varepsilon_{0}}=\frac{-\dfrac{\pi}{2}A L a^{4}}{\varepsilon_{0}}.
Simplificando como antes (cancela L, divide por 2\pi r):
E(r) = -\frac{A a^{4}}{4\varepsilon_{0} r}.
Logo, para r\ge a,
\mathbf{E}(r) = -\frac{A a^{4}}{4\varepsilon_{0} r}\,\hat{r}.
Novamente o campo aponta radialmente para dentro (sinal negativo), e fora a dependência é \propto 1/r, típica de distribuição cilíndrica finita por unidade de comprimento.

Passo 6

Verificação de continuidade em r=a: calcule E por dentro em r=a:
E_{\text{dentro}}(a)=-\frac{A a^{3}}{4\varepsilon_{0}}.
Pelo resultado externo em r=a:
E_{\text{fora}}(a)=-\frac{A a^{4}}{4\varepsilon_{0} a}=-\frac{A a^{3}}{4\varepsilon_{0}}.
As duas expressões coincidem, então E(r) é contínuo em r=a, como esperado (não há lâmina de carga superficial).

Passo 7

Resumo conceitual rápido (para fixar a ideia): usamos a lei de Gauss porque a simetria cilíndrica transforma a integral de fluxo numa equação simples envolvendo só E(r) e a carga encerrada. O procedimento padrão é:
  • escolher superfície gaussiana que respeite a simetria (cilindro coaxial aqui),
  • calcular Q_{\text{int}} por integração de \rho sobre o volume interno,
  • aplicar \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{int}}/\varepsilon_{0} e resolver para E(r).
Um exemplo contrastante rápido: se \rho fosse constante positiva, dentro teríamos E\propto r e fora E\propto 1/r. No nosso caso a dependência \rho\propto r^{2} leva a E\propto r^{3} dentro.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(r)= -\frac{A r^{3}}{4\varepsilon_{0}}\,\hat{r}\quad\text{para }r\le a\n \displaystyle \mathbf{E}(r)= -\frac{A a^{4}}{4\varepsilon_{0} r}\,\hat{r}\quad\text{para }r\ge a

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