Um cilindro sólido muito longo de raio a possui uma carga distribuída com densidade de carga
, onde
é uma constante positiva. Determine o valor do campo elétrico dentro e próximo à superfície externa do cilindro, em pontos distantes de suas extremidades.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o campo elétrico dentro do cilindro e próximo à superfície externa, em pontos longe das extremidades. Informações dadas:
Passo 2
Observação sobre simetria (muito importante para escolher a estratégia): o cilindro é muito longo e a densidade depende apenas da coord. radial
. Por simetria cilíndrica:
Não há dependência em
nem em
, e não há componente axial ou azimutal do campo nos pontos considerados (longe das extremidades).
Passo 3
Escolhemos como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio
e comprimento
. Variantes:
- para obter
dentro do cilindro tomamos ; - para obter
fora tomamos .
A área lateral da superfície gaussiana é
Os discos das extremidades não contribuem para o fluxo porque
é puramente radial, perpendicular aos discos.
Passo 4
Aplicamos a Lei de Gauss na forma integral:
onde
é a permissividade do vácuo e
é a carga total contida dentro da superfície gaussiana. Como
é constante sobre a lateral e dirigido radialmente,
Passo 5
Calcular
por integração volumétrica. O elemento de volume em coordenadas cilindricas é
. Assim, para um raio de integração
(que será
se
ou
se
):
No integrando temos
. Integrando sobre
e
vem o fator
, logo
Passo 6
Caso
(dentro do cilindro): usar
. Substituindo
na Lei de Gauss:
Simplificando os fatores
e
obtemos
Como lembrança: o sinal negativo indica que o vetor campo está apontando no sentido
(isto é, para o eixo), consistente com
. Em forma vetorial:
Passo 7
Caso
(fora do cilindro, próximo à superfície externa): toda a carga do cilindro de raio
está contida, então use
. O total de carga por comprimento
é
Aplicando Gauss para um cilindro de raio
:
portanto
Em forma vetorial:
Passo 8
Verificação rápida na superfície
: os dois resultados coincidem em
,
ou seja, o campo é contínuo (não há carga de superfície separada). Interpretação física: como
é negativa, o campo aponta para dentro; dentro cresce como
e fora decai como
.