Um cilindro sólido muito longo de raio a possui uma carga distribuída com densidade de carga \rho= -A r, onde A é uma constante positiva. Determine o valor do campo elétrico dentro e próximo à superfície externa do cilindro, em pontos distantes de suas extremidades.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o campo elétrico dentro do cilindro e próximo à superfície externa, em pontos longe das extremidades. Informações dadas:
\text{cilindro sólido muito longo, raio } a,ó
\text{densidade volumétrica de carga } \rho(r) = -A r,\quad A>0,é
\text{considerar pontos distantes das extremidades (efeitos de borda desprezíveis).}í

Passo 2

Observação sobre simetria (muito importante para escolher a estratégia): o cilindro é muito longo e a densidade depende apenas da coord. radial r. Por simetria cilíndrica:
\text{o campo elétrico depende só de } r\quad\text{e aponta radialmente: }\mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{\mathbf r}.éó
Não há dependência em \varphi nem em z, e não há componente axial ou azimutal do campo nos pontos considerados (longe das extremidades).

Passo 3

Escolhemos como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio r e comprimento L. Variantes:
  • para obter E(r) dentro do cilindro tomamos 0\le r\le a;
  • para obter E(r) fora tomamos r\ge a.
    A área lateral da superfície gaussiana é
S_{\text{lat}} = 2\pi r L.
Os discos das extremidades não contribuem para o fluxo porque \mathbf{E} é puramente radial, perpendicular aos discos.

Passo 4

Aplicamos a Lei de Gauss na forma integral:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície gaussiana. Como \mathbf{E} é constante sobre a lateral e dirigido radialmente,
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\, (2\pi r L).

Passo 5

Calcular Q_{\text{int}} por integração volumétrica. O elemento de volume em coordenadas cilindricas é dV = r'\,dr'\,d\varphi\,dz. Assim, para um raio de integração R (que será r se r\le a ou a se r\ge a):
Q_{\text{int}} = \int_V \rho\, dV = \int_{z=0}^{L}\!\int_{\varphi=0}^{2\pi}\!\int_{r'=0}^{R} \big(-A r'\big)\, r'\,dr'\,d\varphi\,dz.
No integrando temos \rho(r') r' = -A r'^2. Integrando sobre \varphi e z vem o fator 2\pi L, logo
Q_{\text{int}} = -A(2\pi L)\int_{0}^{R} r'^2\,dr' = -2\pi A L \left[\frac{r'^3}{3}\right]_{0}^{R} = -\frac{2\pi A L R^3}{3}.

Passo 6

Caso r\le a (dentro do cilindro): usar R=r. Substituindo Q_{\text{int}} = -\dfrac{2\pi A L r^3}{3} na Lei de Gauss:
E(r)\,(2\pi r L) = \frac{-2\pi A L r^3/3}{\varepsilon_0}.
Simplificando os fatores 2\pi L e r obtemos
E(r) = -\frac{A r^2}{3\varepsilon_0}.
Como lembrança: o sinal negativo indica que o vetor campo está apontando no sentido -\hat{\mathbf r} (isto é, para o eixo), consistente com \rho<0. Em forma vetorial:
\mathbf{E}(r) = -\frac{A r^2}{3\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf r},\qquad 0\le r\le a.

Passo 7

Caso r\ge a (fora do cilindro, próximo à superfície externa): toda a carga do cilindro de raio a está contida, então use R=a. O total de carga por comprimento L é
Q_{\text{tot}} = -\frac{2\pi A L a^3}{3}.
Aplicando Gauss para um cilindro de raio r\ge a:
E(r)\,(2\pi r L) = \frac{Q_{\text{tot}}}{\varepsilon_0} = \frac{-2\pi A L a^3/3}{\varepsilon_0},
portanto
E(r) = -\frac{A a^3}{3\varepsilon_0\, r}.
Em forma vetorial:
\mathbf{E}(r) = -\frac{A a^3}{3\varepsilon_0\, r}\,\hat{\mathbf r},\qquad r\ge a.

Passo 8

Verificação rápida na superfície r=a: os dois resultados coincidem em r=a,
E_{\text{dentro}}(a) = -\frac{A a^2}{3\varepsilon_0},\qquad E_{\text{fora}}(a) = -\frac{A a^3}{3\varepsilon_0 a} = -\frac{A a^2}{3\varepsilon_0},
ou seja, o campo é contínuo (não há carga de superfície separada). Interpretação física: como \rho é negativa, o campo aponta para dentro; dentro cresce como r^2 e fora decai como 1/r.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(r) = -\frac{A r^2}{3\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf r},\quad 0\le r\le a
\displaystyle \mathbf{E}(r) = -\frac{A a^3}{3\varepsilon_0\, r}\,\hat{\mathbf r},\quad r\ge a

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