Dois fios longos e paralelos, distam 8,10 \mathrm{~cm} entre si. Se os fios são percorridos por correntes idênticas, calcule o valor dessas correntes para que o módulo do campo magnético no ponto médio entre os fios seja de 296 \mu T. R: 30 A .

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Distância entre os dois fios: 8,10\\ \mathrm{cm}.
  • As correntes nos fios são idênticas (mesmo valor de intensidade).
  • Campo magnético no ponto médio entre os fios (módulo): 296\\ \mu\mathrm{T}.
  • Pede-se o valor da intensidade da corrente em cada fio para que o módulo do campo no ponto médio seja esse.

Passo 2

Fórmula do campo magnético gerado por um fio retilíneo e infinito:
Para um fio longo com corrente I, o módulo do campo magnético a uma distância r do fio é dado por
B(r)=\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi r}.
Explicação dos termos:
  • \mu_{0} é a permeabilidade magnética do vácuo, com valor \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
  • I é a intensidade da corrente (o que queremos encontrar).
  • r é a distância do ponto ao fio.
    Comentário físico rápido (como usar no raciocínio): o sentido do campo gerado por cada fio depende da direção da corrente (regra da mão direita). Se as correntes forem opostas, os campos no ponto médio apontam no mesmo sentido e se somam em módulo; se as correntes forem no mesmo sentido, os campos no ponto médio têm sentidos opostos e se cancelam. Para obter um módulo diferente de zero no ponto médio, as correntes devem estar em sentidos opostos (portanto vamos somar os módulos).

Passo 3

Calcular a distância do ponto médio a cada fio e converter unidades:
  • Distância entre fios: d=8,10\\ \mathrm{cm}=0,0810\\ \mathrm{m}.
  • Distância do ponto médio a cada fio: r=\dfrac{d}{2}=\dfrac{0,0810}{2}=0,0405\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Campo total no ponto médio (módulo) quando as correntes têm sentidos opostos:
  • Cada fio produz em módulo B_{\text{um fio}}=\dfrac{\mu_{0}I}{2\pi r}.
  • Como os sentidos fazem os campos somarem, o campo total é
B_{\text{total}}=2\cdot B_{\text{um fio}}=2\cdot\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}=\frac{\mu_{0}I}{\pi r}.

Passo 5

Isolar I na expressão e substituir \mu_{0}:
B_{\text{total}}=\frac{\mu_{0}I}{\pi r}\quad\Longrightarrow\quad I=\frac{B_{\text{total}}\;\pi r}{\mu_{0}}.
Como \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}, temos
I=\frac{B_{\text{total}}\;\pi r}{4\pi\times10^{-7}}=\frac{B_{\text{total}}\;r}{4\times10^{-7}},
pois o \pi cancela.

Passo 6

Substituir os valores numéricos (lembre: B_{\text{total}}=296\\ \mu\mathrm{T}=296\times10^{-6}\\ \mathrm{T} e r=0,0405\\ \mathrm{m}):
I=\frac{(296\times10^{-6})\times 0,0405}{4\times10^{-7}}.
Calcule passo a passo:
  • Numerador: (296\times10^{-6})\times0,0405=296\times0,0405\times10^{-6}=11,988\times10^{-6}=1,1988\times10^{-5}.
  • Divisão: \dfrac{1,1988\times10^{-5}}{4\times10^{-7}}=\dfrac{1,1988}{4}\times10^{2}=0,2997\times10^{2}=29,97\\ \mathrm{A}.
    Arredondando de forma adequada, obtemos aproximadamente 30\\ \mathrm{A}.

Resposta

30\\ \mathrm{A}

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