05- Um líquido cujo coeficiente de dilatação é 20 \times 10^{-4}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}, a 0^{\circ} \mathrm{C}, preenche completamente um frasco cuja capacidade é 1000 ml . Se o material com que o frasco é fabricado tem coeficiente de dilatação linear 20 \times 10^{-6} { }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}, qual é o volume de líquido que transborda quando o conjunto é aquecido a 50^{\circ} \mathrm{C} ? \mathrm{R}: 97 \mathrm{ml}

Passo 1

O que o problema pede e quais são os dados importantes.
  • O enunciado pergunta: qual é o volume de líquido que transborda quando o conjunto (líquido + frasco) é aquecido de 0^\circ\mathrm{C} para 50^\circ\mathrm{C}.
  • Dados fornecidos:
    • Coeficiente de dilatação volumétrica do líquido à 0^\circ\mathrm{C}: \beta_{\text{líq}} = 20\times10^{-4}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}í.
    • Coeficiente de dilatação linear do material do frasco: \alpha = 20\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
    • Capacidade inicial do frasco (e volume inicial do líquido, pois o frasco está cheio): V_0 = 1000\\ \text{ml}.
    • Temperatura inicial T_0 = 0^\circ\mathrm{C} e final T = 50^\circ\mathrm{C}, logo variação \Delta T = 50^\circ\mathrm{C}.
  • O que precisamos calcular: volume que sai do frasco = aumento do volume do líquido menos aumento do volume do frasco.

Passo 2

Conceitos essenciais e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Dilatação volumétrica (líquido): quando um líquido é aquecido, seu volume cresce proporcionalmente ao volume inicial, à variação de temperatura e ao coeficiente volumétrico \beta. A fórmula linearizada para pequenas variações é
\Delta V = V_0\,\beta\,\Delta T,
onde \Delta V é a variação de volume, V_0 é o volume inicial, \beta é o coeficiente volumétrico e \Delta T é a variação de temperatura.
  • Aqui, \beta_{\text{líq}}í é dado diretamente no enunciado.
  • Dilatação do frasco (sólido): o enunciado dá o coeficiente linear \alpha. Para um sólido isotrópico (mesmo comportamento em todas as direções), o coeficiente volumétrico aproximado é
\beta_{\text{sólido}} \approx 3\alpha.ó
  • Intuição rápida: se cada comprimento cresce cerca de \alpha\Delta T, o volume (produto de três comprimentos) cresce cerca de 1+3\alpha\Delta T para pequenas variações, daí o fator 3.
  • Usamos a aproximação porque os valores são pequenos e é a fórmula padrão em provas.
  • Volume que transborda (overflow): como o frasco também aumenta de volume, nem todo aumento do líquido transborda. O volume transbordado é
V_{\text{transbordo}} = \Delta V_{\text{líq}} - \Delta V_{\text{frasco}}.í
Substituindo as fórmulas,
V_{\text{transbordo}} = V_0\big(\beta_{\text{líq}} - \beta_{\text{sólido}}\big)\Delta T.íó

Passo 3

Calcular os coeficientes numéricos em forma prática.
  • Primeiro, escrevo os coeficientes em notação decimal conveniente:
    • Coeficiente volumétrico do líquido:
    \beta_{\text{líq}} = 20\times10^{-4} = 2{,}0\times10^{-3}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.í
    • Coeficiente linear do frasco:
    \alpha = 20\times10^{-6} = 2{,}0\times10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Agora o coeficiente volumétrico aproximado do frasco: \beta_{\text{frasco}} \approx 3\alpha = 3\times(2{,}0\times10^{-5}) = 6{,}0\times10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 4

Montar a expressão do transbordo com os números.
  • Usando a fórmula do Passo 2:
V_{\text{transbordo}} = V_0\big(\beta_{\text{líq}} - \beta_{\text{frasco}}\big)\Delta T.í
  • Substituindo V_0 = 1000\\ \text{ml}, \beta_{\text{líq}} = 2{,}0\times10^{-3}í, \beta_{\text{frasco}} = 6{,}0\times10^{-5} e \Delta T = 50:
V_{\text{transbordo}} = 1000\big(2{,}0\times10^{-3} - 6{,}0\times10^{-5}\big)\times 50.

Passo 5

Fazer as contas passo a passo (sem pular etapas).
  • Primeiro a diferença dos coeficientes:
2{,}0\times10^{-3} - 6{,}0\times10^{-5} = 1{,}94\times10^{-3}.
  • Explicando: 2{,}00\times10^{-3} - 0{,}06\times10^{-3} = 1{,}94\times10^{-3}.
  • Multiplico por 1000:
1000 \times 1{,}94\times10^{-3} = 1{,}94.
  • Porque multiplicar por 1000 desloca a vírgula três casas: 1{,}94\times10^{-3}\times1000 = 1{,}94.
  • Agora multiplico por \Delta T = 50:
1{,}94 \times 50 = 97.
  • Conclusão intermediária: o volume que transborda é 97 ml.

Passo 6

Observações finais (dicas de prova e interpretação).
  • No exame, anote sempre qual volume é inicial e use a fórmula linearizada \Delta V = V_0\beta\Delta T. Se o frasco não tivesse sido mencionado como dilatando, você poderia errar supondo que todo o aumento do líquido transbordaria.
  • Lembre-se da relação prática \beta_{\text{sólido}} \approx 3\alphaó para materiais isotrópicos — isso costuma aparecer muito em questões rápidas.
  • Se os coeficientes fossem maiores ou a variação de temperatura grande, haveria necessidade de termos de ordem superior, mas para provas de graduação essa aproximação linear é a correta e suficiente.

Resposta

97 ml

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