Dois fios longos, paralelos e retilíneos estão dispostos no vácuo, separados por uma distância de 1,00 \mathrm{~m} . \mathrm{O} fio 1 conduz uma corrente de I_{1}=8,0 \mathrm{~A} para dentro da página. O fio 2 , localizado à direita do fio 1 , conduz uma corrente de I_{2}=15,0 \mathrm{~A}, com sentido desconhecido. Determine: (a) A distância x, à esquerda do fio 1, em que o campo magnético total é nulo. (b) O sentido da corrente no fio 2 (para dentro ou para fora da página) necessário para que essa anulação ocorra.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) A distância x, medida à esquerda do fio 1, onde o campo magnético total é nulo.
  • (b) O sentido da corrente no fio 2 (para dentro ou para fora da página) necessário para que essa anulação ocorra.
Informações dadas (peguei a distância entre os fios da imagem):
  • Corrente no fio 1: I_1 = 8{,}0\\ \mathrm{A}, com sentido para dentro da página (símbolo \times na figura).
  • Corrente no fio 2: I_2 = 15{,}0\\ \mathrm{A}, sentido desconhecido.
  • Separação entre os dois fios (fio 1 à fio 2): 1{,}00\\ \mathrm{m} (peguei este valor da imagem).
Posição a considerar: ponto P está à esquerda do fio 1, a uma distância x medida horizontalmente a partir do fio 1.

Passo 2

Formula que vamos usar e o que cada termo significa.
Para um fio retilíneo longo percorrido por corrente, o módulo do campo magnético a uma distância r do fio é dado por:
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r},
onde:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}),
  • I é a corrente no fio (em ampères),
  • r é a distância do ponto ao fio (em metros),
  • B é o módulo do campo magnético (em tesla).
Observação sobre direções (regra da mão direita, explicada passo a passo):
  • Para corrente para dentro da página (símbolo \times), as linhas de campo circularão no sentido horário; para corrente para fora da página (símbolo \odot), circularão no sentido anti-horário.
  • No ponto P (na mesma linha horizontal dos fios, à esquerda do fio 1) os campos gerados por cada fio serão verticais (ou para cima, ou para baixo), pois o vetor campo é tangente às circunferências centradas nos fios.
  • Especificamente, para o fio 1 com I_1 para dentro da página: no ponto P (que está à esquerda do fio 1) o campo \vec{B}_1 apontará para baixo.
  • Para o fio 2, o sentido do campo no ponto P depende do sentido de I_2:
    • Se I_2 for para dentro da página, então no ponto P (que está à esquerda do fio 2) o campo \vec{B}_2 também apontará para baixo.
    • Se I_2 for para fora da página, então no ponto P o campo \vec{B}_2 apontará para cima.
Para ocorrer anulação do campo total em P (isto é, \vec{B}_\text{total}=\vec{0}), os campos verticais produzidos pelos dois fios devem ser opostos em sentido. Como \vec{B}_1 em P está apontando para baixo, o campo produzido pelo fio 2 em P precisa apontar para cima; portanto I_2 deve ser para fora da página. Assim já respondemos a parte (b) qualitativa: o sentido necessário é para fora da página. Agora vamos quantificar a posição x.

Passo 3

Montar a equação de anulação das magnitudes (já que os vetores têm sentidos opostos, basta igualar os módulos).
Distâncias:
  • distância do ponto P ao fio 1: r_1 = x.
  • distância do ponto P ao fio 2: r_2 = x + 1{,}00\\ \mathrm{m} (pois o fio 2 está 1{,}00\\ \mathrm{m} à direita do fio 1).
Módulos dos campos:
B_1=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r_1}=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi x}, \qquad B_2=\frac{\mu_0 I_2}{2\pi r_2}=\frac{\mu_0 I_2}{2\pi (x+1{,}00)}.
Para anulação, B_1=B_2. Cancelando o fator comum \dfrac{\mu_0}{2\pi} obtemos a equação:
\frac{I_1}{x}=\frac{I_2}{x+1{,}00}.

Passo 4

Resolver a equação para x.
Partindo de
\frac{I_1}{x}=\frac{I_2}{x+1{,}00},
multiplicando em cruz:
I_1(x+1{,}00)=I_2 x.
Expandindo:
I_1 x + I_1 = I_2 x.
Reagrupando os termos em x:
I_1 = (I_2 - I_1)\,x.
Logo,
x=\frac{I_1}{I_2 - I_1}.
Substituindo os valores numéricos ( I_1=8{,}0\\ \mathrm{A}, I_2=15{,}0\\ \mathrm{A}):
x=\frac{8{,}0}{15{,}0-8{,}0}=\frac{8{,}0}{7{,}0}=\frac{8}{7}\\ \mathrm{m}.
Como valor decimal (com três algarismos significativos, coerente com os dados):
x\approx 1{,}14\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Interpretação final curta e verificação rápida:
  • Obtivemos x=\tfrac{8}{7}\\ \mathrm{m}\approx1{,}14\\ \mathrm{m}. É razoável que x>1{,}00\\ \mathrm{m} porque I_2 é maior que I_1: para que os campos se anulem à esquerda do fio 1, o ponto precisa estar mais longe do fio 2 (distância x+1{,}00) de modo que o campo mais forte de I_2 seja reduzido pela maior distância.
  • O sentido de I_2 necessário para que os campos sejam opostos em P é para fora da página (símbolo \odot).

Resposta

\displaystyle x=\frac{8}{7}\\ \mathrm{m}\approx 1{,}14\\ \mathrm{m}
I_2: para fora da página.

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