Um solenoide longo tem 100 espiras/ cm e conduz uma corrente I. Um elétron se move no interior do solenoide em uma circunferência de 1,30 \mathrm{~cm} de raio perpendicular ao eixo do solenoide. A velocidade do elétron é 1,375 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a corrente I no solenoide. [Dados: m_{e}=9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}, q=1,6 \times 10^{-19} \mathrm{~kg} ]

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
    • número de espiras por unidade de comprimento: 100\\ \text{espiras/cm}.
    • raio da circunferência descrita pelo elétron: 1,30\\ \text{cm}.
    • velocidade do elétron: 1,375\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
    • massa do elétron: m_{e}=9,11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
    • carga elementar (magnitute da carga do elétron): e=1,6\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Constante do vácuo que vamos usar: \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
  • O que se pede: determinar a corrente I que circula no solenoide.

Passo 2

Entendendo a física do problema (a parte conceitual passo a passo).
  • O elétron se move em círculo no plano perpendicular ao eixo do solenoide, portanto sua velocidade é perpendicular ao campo magnético do solenoide.
  • A força magnética sobre uma carga em movimento quando \vec v é perpendicular ao campo \vec B tem magnitude \,F_{B}=q v B.\n
    Aqui q é a magnitude da carga (usar e para o elétron), v é a velocidade e B é a intensidade do campo magnético.
  • Para movimento circular com raio r a força resultante radial necessária é a força centrípeta F_{c}=\dfrac{m v^{2}}{r}, onde m é a massa da partícula.
  • No caso estável do elétron descrevendo a circunferência, a força magnética fornece a centrípeta, logo igualamos:
q v B = \frac{m v^{2}}{r}.

Passo 3

Isolando B a partir da igualdade das forças.
  • Dividindo ambos os lados por q v (e lembrando que usamos a magnitude da carga):
B = \frac{m v}{q r}.
  • Observação: aqui m é m_{e}, q é e (valor positivo da carga), v e r são os dados do enunciado.

Passo 4

Relação entre B e a corrente I no solenoide.
  • Para um solenoide longo e uniforme vale a relação:
B = \mu_{0} n I,
onde n é o número de espiras por unidade de comprimento (espiras por metro) e \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo.
  • Portanto podemos escrever a corrente:
I = \frac{B}{\mu_{0} n} = \frac{1}{\mu_{0} n}\cdot\frac{m v}{q r} = \frac{m v}{q r \mu_{0} n}.

Passo 5

Converter unidades e calcular n (espiras por metro) e r em metros.
  • 100\\ \text{espiras/cm} = 100\\ \text{espiras}/0{,}01\\ \mathrm{m} = 1{,}00\times10^{4}\\ \text{espiras/m}. Então
n = 1{,}00\times10^{4}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Raio: 1{,}30\\ \text{cm} = 0{,}0130\\ \mathrm{m}. Portanto
r = 0{,}0130\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos na expressão de I e calcular passo a passo.
  • Expressão para I:
I = \frac{m_{e}\,v}{e\,r\,\mu_{0}\,n}.
  • Calcular o numerador m_{e}v:
m_{e}v = (9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg})\times(1{,}375\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}) =1{,}252625\times10^{-23}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Calcular o produto do denominador e\,r\,\mu_{0}\,n:
e\,r = (1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{C})\times(0{,}0130\\ \mathrm{m})=2{,}08\times10^{-21}\\ \mathrm{C\cdot m}.
\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}\approx1{,}25663706\times10^{-6}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
e\,r\,\mu_{0} = 2{,}08\times10^{-21}\times1{,}25663706\times10^{-6} =2{,}61380509\times10^{-27}\\ (\mathrm{C\cdot m}\cdot\mathrm{T\cdot m/A}).
e\,r\,\mu_{0}\,n = 2{,}61380509\times10^{-27}\times(1{,}00\times10^{4}) =2{,}61380509\times10^{-23}.
  • Finalmente a corrente:
I=\frac{1{,}252625\times10^{-23}}{2{,}61380509\times10^{-23}} \approx0{,}479.

Passo 7

Interpretação do resultado e checagem rápida de ordens de grandeza.
  • O valor obtido é da ordem de 10^{-0} ampère, ou seja algumas frações de ampère, o que é razoável para produzir um campo magnético capaz de curvar um elétron nessa velocidade e raio.
  • Portanto a corrente no solenoide é aproximadamente 0{,}48\\ \mathrm{A}.

Resposta

I \approx 0{,}479\\ \mathrm{A}

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