O momento de inércia de uma estrela que sofre uma contração enquanto gira em torno de si mesma cai para \frac{1}{4} do valor inicial. Qual é a razão entre a nova energia cinética de rotação e a energia antiga?

Passo 1

O enunciado dá que o momento de inércia de uma estrela cai para \tfrac{1}{4} do valor inicial. A pergunta é: qual é a razão entre a nova energia cinética de rotação e a energia cinética antiga?
Informações relevantes fornecidas:
  • Momento de inércia inicial: I_{\text{inicial}}.
  • Momento de inércia final: I_{\text{final}}=\tfrac{1}{4}I_{\text{inicial}}.
  • A estrela gira em torno de si mesma (assume-se que não há torque externo significativo, logo o momento angular total se conserva).

Passo 2

Vamos recordar as fórmulas que usaremos (explicando cada símbolo):
  • Momento angular: \displaystyle L = I\,\omega, onde \displaystyle L é o momento angular (constante se não houver torque externo), \displaystyle I é o momento de inércia e \displaystyle \omega é a velocidade angular.
  • Energia cinética de rotação: \displaystyle K = \tfrac{1}{2}I\,\omega^{2}, onde \displaystyle K é a energia cinética rotacional.
Explicação curta: \displaystyle I mede como a massa está distribuída em relação ao eixo; \omega é quão rápido gira; \tfrac{1}{2}I\omega^{2} é a energia associada à rotação.

Passo 3

Usando conservação do momento angular ( \displaystyle L constante):
L_{\text{inicial}} = L_{\text{final}}
I_{\text{inicial}}\,\omega_{\text{inicial}} = I_{\text{final}}\,\omega_{\text{final}}.
Isolando \displaystyle \omega_{\text{final}}:
\omega_{\text{final}} = \frac{I_{\text{inicial}}}{I_{\text{final}}}\,\omega_{\text{inicial}}.
Substituindo I_{\text{final}}=\tfrac{1}{4}I_{\text{inicial}}:
\omega_{\text{final}} = \frac{I_{\text{inicial}}}{\tfrac{1}{4}I_{\text{inicial}}}\,\omega_{\text{inicial}} = 4\,\omega_{\text{inicial}}.
Ou seja, a velocidade angular fica quatro vezes maior.

Passo 4

Agora calculamos a nova energia cinética de rotação \displaystyle K_{\text{final}} usando \displaystyle K=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}:
K_{\text{final}} = \tfrac{1}{2}I_{\text{final}}\,\omega_{\text{final}}^{2}.
Substituindo I_{\text{final}}=\tfrac{1}{4}I_{\text{inicial}} e \omega_{\text{final}}=4\omega_{\text{inicial}}:
K_{\text{final}} = \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{4}I_{\text{inicial}}\right)\left(4\omega_{\text{inicial}}\right)^{2}.
Calcule passo a passo os fatores:
\left(4\omega_{\text{inicial}}\right)^{2}=16\,\omega_{\text{inicial}}^{2},
logo
K_{\text{final}} = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{4}\cdot 16 \; I_{\text{inicial}}\,\omega_{\text{inicial}}^{2}.

Passo 5

Simplificando os coeficientes:
\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{4}\cdot 16 = \tfrac{1}{2}\cdot 4 = 2.
Portanto
K_{\text{final}} = 2\,I_{\text{inicial}}\,\omega_{\text{inicial}}^{2}.
Lembrando que a energia inicial é \displaystyle K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}I_{\text{inicial}}\,\omega_{\text{inicial}}^{2}, fazemos a razão:
\frac{K_{\text{final}}}{K_{\text{inicial}}}=\frac{2\,I_{\text{inicial}}\,\omega_{\text{inicial}}^{2}}{\tfrac{1}{2}I_{\text{inicial}}\,\omega_{\text{inicial}}^{2}}= \frac{2}{\tfrac{1}{2}} = 4.

Resposta

\displaystyle \frac{K_{\text{nova}}}{K_{\text{antiga}}}=4

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