Dois fios são feitos do mesmo material e tem o mesmo comprimento, mas raios diferentes. Eles são soldados em uma das extremidades e uma diferença de potencial se estabelece através dos fios conectados. Qual das seguintes propriedades é a mesma para os dois fios?
Escolha uma opção:
\bigcirc a. a densidade de corrente
\bigcirc b. o campo elétrico
\bigcirc c. a corrente
\bigcirc d. a velocidade de deriva
\bigcirc e. a ddp

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede que escolhamos qual propriedade é a mesma para os dois fios.
  • Dois fios são feitos do mesmo material (logo têm a mesma resistividade, que vou chamar de \rho).
  • Os fios têm o mesmo comprimento L.
  • Os fios têm raios diferentes (portanto áreas de seção transversal diferentes; chamarei as áreas de A_1 e A_2).
  • Eles são soldados em uma das extremidades (isto é, os fios estão ligados um ao outro extremidade-a-extremidade) e uma diferença de potencial é estabelecida através dos fios conectados (a ddp é aplicada entre as extremidades livres dos dois fios).
  • Pergunta: entre as opções abaixo, qual propriedade é a mesma para os dois fios?
    a. a densidade de corrente
    b. o campo elétrico
    c. a corrente
    d. a velocidade de deriva
    e. a ddp

Passo 2

Entendimento da configuração elétrica (sério, isso é importante para não se confundir): como os fios estão soldados em uma das extremidades e a ddp é aplicada entre as extremidades livres, os dois fios ficam colocados em série (um depois do outro). Em série significa que qualquer carga que sai do terminal da fonte tem que passar por um fio e depois pelo outro antes de voltar, portanto a mesma corrente percorre os dois fios em sequência. Não é paralelo (em paralelo os dois fios teriam ambas extremidades ligadas aos mesmos dois pontos).

Passo 3

Vamos lembrar a fórmula da resistência elétrica de um fio cilíndrico homogêneo, que é uma coisa que cai direto na prova:
R=\frac{\rho L}{A}.
Aqui:
  • \rho é a resistividade do material (mesma para os dois fios, por hipótese),
  • L é o comprimento do fio (mesmo para os dois fios),
  • A é a área da seção transversal do fio (diferente entre os fios porque os raios são diferentes).
Como \rho e L são iguais para os dois fios, a resistência de cada fio é inversamente proporcional à sua área: o fio mais fino (menor A) tem maior resistência.

Passo 4

Regra importante para circuitos em série (que você deve decorar e aplicar na prova): a corrente elétrica é a mesma em todos os elementos ligados em série. Em símbolos, se I é a corrente que atravessa o par de fios em série, então o mesmo I atravessa o primeiro fio e o segundo fio. Isso decorre da conservação de carga: não há “lugar” para a corrente acumular no ponto de junção soldado.
Portanto, a corrente elétrica I é igual nos dois fios.

Passo 5

Agora vamos analisar as outras grandezas pedidas e ver se são iguais ou não, usando relações básicas.
Densidade de corrente. A densidade de corrente \mathbf{J} (módulo) num fio de área A é
J=\frac{I}{A},
onde I é a corrente que passa pelo fio. Como I é a mesma nos dois fios, mas A_1\neq A_2, segue que
J_1=\frac{I}{A_1}\quad\text{e}\quad J_2=\frac{I}{A_2},
e, portanto, em geral J_1\neq J_2. Logo, a densidade de corrente NÃO é a mesma para os dois fios.

Passo 6

Campo elétrico no interior do fio. Na teoria macroscópica do condutor homogêneo ohmico, a forma microscópica da Lei de Ohm é
\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E},
onde \sigma é a condutividade ( \sigma=1/\rho) e \mathbf{E} é o campo elétrico. Em módulo,
E=\rho J.
Como \rho é igual para os dois fios (mesmo material) mas J difere (veja Passo 5), o campo elétrico também difere entre os fios:
E_1=\rho J_1=\rho\frac{I}{A_1}\quad\text{e}\quad E_2=\rho\frac{I}{A_2}.
Portanto, o campo elétrico NÃO é o mesmo nos dois fios.

Passo 7

Velocidade de deriva. A velocidade média de deriva dos portadores de carga (por exemplo elétrons) está relacionada à densidade de corrente por
J=n q v_d,
onde:
  • n é a densidade volumétrica de portadores (número por volume; mesma para os dois fios porque o material é o mesmo),
  • q é a carga de cada portador (por exemplo -e para elétrons; o módulo é o mesmo nos dois),
  • v_d é a velocidade de deriva média.
Isolando v_d:
v_d=\frac{J}{n q}=\frac{I}{n q A}.
Como A difere, e I, n, q são os mesmos, conclui-se que v_{d1}\neq v_{d2}. Logo, a velocidade de deriva NÃO é a mesma.

Passo 8

Diferença de potencial (ddp) em cada fio. A queda de tensão num fio é dada por V=IR. Como as resistências dos fios são diferentes (ver Passo 3) e a corrente é a mesma, as quedas de potencial em cada fio serão diferentes:
V_1=I R_1=I\frac{\rho L}{A_1},\qquad V_2=I R_2=I\frac{\rho L}{A_2},
portanto V_1\neq V_2 em geral. A ddp total aplicada é a soma V_{\text{total}}=V_1+V_2, mas cada fio tem sua própria ddp diferente.

Passo 9

Resumo e conclusão clara: examinamos cada opção:
  • a. densidade de corrente: depende de A (não é igual).
  • b. campo elétrico: depende de J (não é igual).
  • c. a corrente: por serem fios em série, a corrente é a mesma em ambos (é igual).
  • d. velocidade de deriva: depende de A via v_d=I/(nqA) (não é igual).
  • e. ddp (queda de potencial em cada fio): depende de R=\rho L/A (não é igual).
Portanto, a única propriedade que é a mesma para os dois fios é a corrente.

Resposta

c. a corrente

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