Dois fios 1 e 2 de seção transversal circular são feitos de um mesmo metal e possuem o mesmo comprimento, mas a resistência do fio 1 é três vezes maior que a do fio 2 . (a) Qual é a razão entre a área transversal do fio 1 e do fio 2 ? (b) Qual é a razão entre os raios de 1 e de 2 ? R: (a)
; (b)
.
Passo 1
O enunciado dá duas informações importantes e faz duas perguntas. Informações:
- Dois fios (fio 1 e fio 2) têm seção transversal circular.
- Os dois fios são feitos do mesmo metal, logo possuem a mesma resistividade.
- Os dois fios têm o mesmo comprimento.
- A resistência do fio 1 é três vezes a resistência do fio 2, ou seja
.
Perguntas:
- (a) Qual é a razão entre a área transversal do fio 1 e a do fio 2?
- (b) Qual é a razão entre os raios do fio 1 e do fio 2?
Passo 2
Vamos usar a fórmula que relaciona resistência elétrica, resistividade, comprimento e área da seção transversal. A fórmula é:
onde:
-
é a resistência do fio, -
é a resistividade do material (uma constante para o mesmo metal), -
é o comprimento do fio, -
é a área da seção transversal do fio.
Expliquei cada variável para você saber de onde vem a relação que vamos usar.
Passo 3
Como os dois fios são do mesmo metal, temos a mesma resistividade
. Como têm o mesmo comprimento, têm o mesmo
. Assim, comparando os dois fios podemos escrever:
Dividindo as duas expressões (para eliminar
e
):
Ou seja, a razão das resistências é o inverso da razão das áreas:
.
Passo 4
Usamos a relação dada no enunciado
. Substituindo na fórmula do passo anterior:
Invertendo ambos os lados obtemos a razão pedida para as áreas:
Aqui chegamos à resposta da parte (a): a área do fio 1 é um terço da área do fio 2.
Passo 5
Agora vamos relacionar áreas e raios. Como as seções transversais são circulares, a área de cada seção é dada por:
onde
é o raio da seção. Para os dois fios:
Fazendo a razão
:
Passo 6
Já sabemos de
que
. Substituindo na expressão com os raios:
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (sempre positiva, pois raios são positivos):
Essa é a razão entre os raios pedida na parte (b). Pequeno exemplo numérico para checar: se
então
; com
isso dá
e
, e realmente
.
Resposta
(a)
(b)
(b)