Dois fios 1 e 2 de seção transversal circular são feitos de um mesmo metal e possuem o mesmo comprimento, mas a resistência do fio 1 é três vezes maior que a do fio 2 . (a) Qual é a razão entre a área transversal do fio 1 e do fio 2 ? (b) Qual é a razão entre os raios de 1 e de 2 ? R: (a) 1 / 3; (b) 1 / \sqrt{3}.

Passo 1

O enunciado dá duas informações importantes e faz duas perguntas. Informações:
  • Dois fios (fio 1 e fio 2) têm seção transversal circular.
  • Os dois fios são feitos do mesmo metal, logo possuem a mesma resistividade.
  • Os dois fios têm o mesmo comprimento.
  • A resistência do fio 1 é três vezes a resistência do fio 2, ou seja R_1 = 3R_2.
Perguntas:
  • (a) Qual é a razão entre a área transversal do fio 1 e a do fio 2?
  • (b) Qual é a razão entre os raios do fio 1 e do fio 2?

Passo 2

Vamos usar a fórmula que relaciona resistência elétrica, resistividade, comprimento e área da seção transversal. A fórmula é:
R = \rho \frac{L}{A}
onde:
  • R é a resistência do fio,
  • \rho é a resistividade do material (uma constante para o mesmo metal),
  • L é o comprimento do fio,
  • A é a área da seção transversal do fio.
Expliquei cada variável para você saber de onde vem a relação que vamos usar.

Passo 3

Como os dois fios são do mesmo metal, temos a mesma resistividade \rho. Como têm o mesmo comprimento, têm o mesmo L. Assim, comparando os dois fios podemos escrever:
R_1 = \rho \frac{L}{A_1},\qquad R_2 = \rho \frac{L}{A_2}.
Dividindo as duas expressões (para eliminar \rho e L):
\frac{R_1}{R_2}=\frac{\rho \dfrac{L}{A_1}}{\rho \dfrac{L}{A_2}}=\frac{A_2}{A_1}.
Ou seja, a razão das resistências é o inverso da razão das áreas: \dfrac{R_1}{R_2}=\dfrac{A_2}{A_1}.

Passo 4

Usamos a relação dada no enunciado R_1=3R_2. Substituindo na fórmula do passo anterior:
\frac{R_1}{R_2}=3=\frac{A_2}{A_1}.
Invertendo ambos os lados obtemos a razão pedida para as áreas:
\frac{A_1}{A_2}=\frac{1}{3}.
Aqui chegamos à resposta da parte (a): a área do fio 1 é um terço da área do fio 2.

Passo 5

Agora vamos relacionar áreas e raios. Como as seções transversais são circulares, a área de cada seção é dada por:
A=\pi r^2,
onde r é o raio da seção. Para os dois fios:
A_1=\pi r_1^2,\qquad A_2=\pi r_2^2.
Fazendo a razão A_1/A_2:
\frac{A_1}{A_2}=\frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2}=\frac{r_1^2}{r_2^2}.

Passo 6

Já sabemos de A_1/A_2 que \dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{1}{3}. Substituindo na expressão com os raios:
\frac{r_1^2}{r_2^2}=\frac{1}{3}.
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (sempre positiva, pois raios são positivos):
\frac{r_1}{r_2}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Essa é a razão entre os raios pedida na parte (b). Pequeno exemplo numérico para checar: se A_2=3 então A_1=1; com A=\pi r^2 isso dá r_2=\sqrt{3/\pi} e r_1=\sqrt{1/\pi}, e realmente r_1/r_2=1/\sqrt{3}.

Resposta

(a) \dfrac{1}{3}
(b) \dfrac{1}{\sqrt{3}}

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