Um ventilador de teto está ligado e roda com velocidade angular constante \vec{\omega}_{0}=\omega_{0} \hat{z}. Assuma que quando é desligado haja atrito no seu mecanismo, de mancira que seja exercido um torque constante \vec{\tau}=-\tau \hat{z} \mathrm{~cm} relação ao seu eixo. Se observa que quando o ventilador é desligado, ele dá N voltas até parar. Nessa situação, assinale a alternativa correta com relação ao seu momento de inércia
(a) I=\frac{\tau}{2 \omega_{0}^{2}} N
(c) I=\frac{\tau}{\omega_{0}^{2}} N
(d) I=\frac{2 \pi \tau}{\omega_{0}^{2}} N
(e) não é possível calcular o momento de inércia

Passo 1

Você me deu as seguintes informações e pediu para assinalar a alternativa correta sobre o momento de inércia:
  • O ventilador gira com velocidade angular constante inicial \vec{\omega}_0=\omega_0\hat{z}.
  • Quando desligado, atua um torque constante de atrito \vec{\tau}=-\tau\hat{z} (ou seja, de módulo \tau, apontando em sentido oposto a \vec{\omega}_0).
  • Observa-se que, desde o instante do desligamento até parar, o ventilador dá N voltas.
  • Preciso relacionar tudo isso para encontrar o momento de inércia I e escolher a alternativa correta entre as dadas.
O que é pedido: determinar I em função de \tau, \omega_0 e N e então verificar qual alternativa (se alguma) está correta.

Passo 2

Conceito útil 1 — energia cinética rotacional: a energia de rotação de um corpo rígido que gira com velocidade angular \omega é
K=\frac{1}{2}I\omega^{2},
onde I é o momento de inércia (a “inércia” para rotação) e \omega é a velocidade angular. Aqui:
  • K tem unidades de energia;
  • I tem unidades de massa vezes comprimento ao quadrado;
  • \omega tem unidades de rad/s.
No nosso caso, a energia inicial de rotação é K_i=\tfrac{1}{2}I\omega_0^2 e a energia final, quando para, é K_f=0.

Passo 3

Conceito útil 2 — trabalho de um torque constante: um torque constante \vec{\tau} aplicado ao longo de uma rotação por um ângulo escalar \theta (em radianos) realiza trabalho
W=\tau_{\text{(auto de \(\theta\))}}\cdot\theta,
com sinal considerando orientação. No nosso caso o torque de atrito é oposto ao movimento, então faz trabalho negativo e retira energia do rotor. Tomando módulos e cuidando do sinal pela equação de variação da energia, podemos escrever a contribuição escalar como W=-\tau\theta (porque torque antiparalelo ao deslocamento angular). Aqui:
  • \theta é o deslocamento angular total em radianos;
  • como o ventilador dá N voltas, o deslocamento em radianos é
\theta = 2\pi N.

Passo 4

Aplicando o teorema trabalho-energia para o movimento rotacional: a variação da energia cinética é igual ao trabalho realizado pelo torque:
\Delta K = K_f-K_i = W.
Substituindo K_f=0, K_i=\tfrac{1}{2}I\omega_0^2 e W=-\tau\theta, temos
0-\frac{1}{2}I\omega_0^2 = -\tau\theta.
Rearranjando (multiplicando por -1):
\frac{1}{2}I\omega_0^2 = \tau\theta.

Passo 5

Isolando I na equação anterior:
I = \frac{2\tau\theta}{\omega_0^2}.
Agora substituímos \theta=2\pi N:
I = \frac{2\tau(2\pi N)}{\omega_0^2} = \frac{4\pi\tau N}{\omega_0^2}.
Portanto, a expressão correta para o momento de inércia, obtida por conservação de energia (ou pelo uso de \tau=I\alpha e cinemática angular), é
I=\frac{4\pi\tau N}{\omega_0^2}.

Passo 6

Comparação com as alternativas fornecidas:
  • (a) \displaystyle I=\frac{\tau}{2\omega_0^2}N — não coincide (falta fator \pi e temos diferença de fator numérico).
  • (c) \displaystyle I=\frac{\tau}{\omega_0^2}N — não coincide.
  • (d) \displaystyle I=\frac{2\pi\tau}{\omega_0^2}N — esta é \displaystyle \frac{2\pi\tau N}{\omega_0^2}, que é exatamente metade da nossa expressão \displaystyle \frac{4\pi\tau N}{\omega_0^2}.
  • (e) diz que não é possível calcular I — mas nós calculamos e obtivemos uma expressão única e determinada.
Conclusão: nenhuma das alternativas numéricas dadas coincide com a expressão correta \displaystyle I=\frac{4\pi\tau N}{\omega_0^2}. Portanto não existe alternativa correta entre (a), (c), (d) e (e) tal como estão escritas.

Resposta

Nenhuma das alternativas fornecidas; \displaystyle I=\frac{4\pi\tau N}{\omega_0^{2}}.

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