Um ventilador de teto está ligado e roda com velocidade angular constante
. Assuma que quando é desligado haja atrito no seu mecanismo, de mancira que seja exercido um torque constante
relação ao seu eixo. Se observa que quando o ventilador é desligado, ele dá
voltas até parar. Nessa situação, assinale a alternativa correta com relação ao seu momento de inércia
(a)
(c)
(d)
(e) não é possível calcular o momento de inércia
(a)
(c)
(d)
(e) não é possível calcular o momento de inércia
Passo 1
Você me deu as seguintes informações e pediu para assinalar a alternativa correta sobre o momento de inércia:
- O ventilador gira com velocidade angular constante inicial
. - Quando desligado, atua um torque constante de atrito
(ou seja, de módulo , apontando em sentido oposto a ). - Observa-se que, desde o instante do desligamento até parar, o ventilador dá
voltas. - Preciso relacionar tudo isso para encontrar o momento de inércia
e escolher a alternativa correta entre as dadas.
O que é pedido: determinar
em função de
,
e
e então verificar qual alternativa (se alguma) está correta.
Passo 2
Conceito útil 1 — energia cinética rotacional: a energia de rotação de um corpo rígido que gira com velocidade angular
é
onde
é o momento de inércia (a “inércia” para rotação) e
é a velocidade angular. Aqui:
-
tem unidades de energia; -
tem unidades de massa vezes comprimento ao quadrado; -
tem unidades de rad/s.
No nosso caso, a energia inicial de rotação é
e a energia final, quando para, é
.
Passo 3
Conceito útil 2 — trabalho de um torque constante: um torque constante
aplicado ao longo de uma rotação por um ângulo escalar
(em radianos) realiza trabalho
com sinal considerando orientação. No nosso caso o torque de atrito é oposto ao movimento, então faz trabalho negativo e retira energia do rotor. Tomando módulos e cuidando do sinal pela equação de variação da energia, podemos escrever a contribuição escalar como
(porque torque antiparalelo ao deslocamento angular). Aqui:
-
é o deslocamento angular total em radianos; - como o ventilador dá
voltas, o deslocamento em radianos é
Passo 4
Aplicando o teorema trabalho-energia para o movimento rotacional: a variação da energia cinética é igual ao trabalho realizado pelo torque:
Substituindo
,
e
, temos
Rearranjando (multiplicando por
):
Passo 5
Isolando
na equação anterior:
Agora substituímos
:
Portanto, a expressão correta para o momento de inércia, obtida por conservação de energia (ou pelo uso de
e cinemática angular), é
Passo 6
Comparação com as alternativas fornecidas:
- (a)
— não coincide (falta fator e temos diferença de fator numérico). - (c)
— não coincide. - (d)
— esta é , que é exatamente metade da nossa expressão . - (e) diz que não é possível calcular
— mas nós calculamos e obtivemos uma expressão única e determinada.
Conclusão: nenhuma das alternativas numéricas dadas coincide com a expressão correta
. Portanto não existe alternativa correta entre (a), (c), (d) e (e) tal como estão escritas.
Resposta
Nenhuma das alternativas fornecidas;
.