Dois fluxos de igua sio misturados para formar a alimentação de uma calderta. Os dados do processo sìo os seguintes:
Fluxo de alimentação 1: 120 \mathrm{~kg} / \min a 30^{\circ} \mathrm{C} Fluxo de alimentação 2: 175 \mathrm{~kg} / min a 65^{\circ} \mathrm{C} Pressio da caldeira: 17,5 bar (absoluto)
O rapor de suida emerge da caldeira através de um tubo com 6 cm de diametro interno. Calcule a entrada de calor necessaria na caldeira em quilojoules por minuto, supondo que o rapor emergente esteja saturado ma pressio da caldeira. Despreze as energias cinéticas dos fluxos de entrada liquidos.

Passo 1

Dados fornecidos e o que o problema pede:\n
  • Fluxo de alimentação 1: \dot{m}_1 = 120\\ \mathrm{kg/min} a T_1 = 30^\circ\mathrm{C}.\n
  • Fluxo de alimentação 2: \dot{m}_2 = 175\\ \mathrm{kg/min} a T_2 = 65^\circ\mathrm{C}.\n
  • Pressão da caldeira: p = 17{,}5\\ \mathrm{bar} (absoluto).\n
  • O vapor sai pela tubulação de diâmetro interno d = 6\\ \mathrm{cm} = 0{,}06\\ \mathrm{m}.\n
  • Suposições: o vapor que sai é vapor saturado à pressão da caldeira; desprezamos as energias cinéticas dos fluxos de entrada líquidos (como pedido). Não foram mencionadas perdas de calor para o ambiente, então faremos o balanço de energia macroscópico entre a mistura líquida de alimentação e o fluxo de vapor de saída, incluindo a energia cinética do vapor de saída (vamos calcular e verificar sua importância).\n
  • O que pedir: calcular a entrada de calor necessária na caldeira, em \mathrm{kJ/min}.

Passo 2

Estratégia e fórmulas principais (explicando a teoria):\n
  1. Mistura dos dois fluxos líquidos antes da caldeira: como os dois são líquidos à pressão ambiente e estamos desprezando perdas, a temperatura de mistura T_{mix} vem do balanço de energia sensível (entropias não entram aqui):\n
\dot{m}_1 c_p (T_1 - T_{ref}) + \dot{m}_2 c_p (T_2 - T_{ref}) = (\dot{m}_1+\dot{m}_2) c_p (T_{mix} - T_{ref}).
\n
Como c_p do líquido é aproximadamente constante, o c_p e a referência cancelam, resultando a média ponderada:\n
T_{mix} = \frac{\dot{m}_1 T_1 + \dot{m}_2 T_2}{\dot{m}_1+\dot{m}_2}.
\n
Explicação didática: c_p é o calor específico à pressão constante do líquido (em \mathrm{kJ/(kg\;K)}). Para água líquida em temperatura próxima a essas, podemos usar c_p \approx 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}. A equação acima é simplesmente conservação de energia sensível: energia térmica transportada por cada fluxo se soma e resulta na energia térmica da mistura.\n
2) Aquecer a mistura até a temperatura de saturação correspondente à pressão da caldeira e vaporizar: a energia por unidade de massa necessária para transformar 1 kg de líquido na alimentação em vapor saturado é\n
\Delta h = c_p (T_{sat}(p) - T_{mix}) + h_{fg}(p),
onde T_{sat}(p) é a temperatura de saturação à pressão p e h_{fg}(p) é o calor latente de vaporização (ambos obtidos em tabelas de vapor d’água). Raciocínio: primeiro levanta-se o líquido de T_{mix} até a temperatura de saturação (energia sensível c_p\Delta T), depois é fornecida a energia latente h_{fg} para efetuar a mudança de fase.\n
3) Balanço de energia total (taxa): taxa de calor necessária (apenas entálpica) será\n
\dot{Q}_{ent} = (\dot{m}_1+\dot{m}_2)\,\Delta h.
Se quisermos incluir a energia cinética do vapor de saída (pois não pediram para desprezá‑la), aplicamos o termo cinético na equação de energia de escoamento: acrescentamos (\dot{m}_1+\dot{m}_2)\cdot \frac{V^2}{2} (convertido para \mathrm{kJ/min}) onde V é a velocidade do vapor. Vamos calcular esse termo e avaliar sua importância.

Passo 3

Cálculo da vazão mássica total e da temperatura de mistura:\n
  • Vazão mássica total:\n
\dot{m} = \dot{m}_1+\dot{m}_2 = 120 + 175 = 295\\ \mathrm{kg/min}.
\n
  • Temperatura de mistura (média ponderada):\n
T_{mix} = \frac{120\cdot 30 + 175\cdot 65}{295} = \frac{14975}{295} = 50{,}76271186^\circ\mathrm{C}.
\n
Comentário amigável: a mistura fica em torno de 50{,}8^\circ\mathrm{C}. Usamos a média ponderada porque a capacidade térmica por kg é (aproximadamente) a mesma para cada fluxo líquido.

Passo 4

Propriedades do vapor saturado à pressão da caldeira (valores obtidos em tabelas de vapor):\n
  • Para p = 17{,}5\\ \mathrm{bar} (ou 1750\\ \mathrm{kPa}) as tabelas dão aproximadamente:\n
T_{sat}(17{,}5\\ \mathrm{bar}) \approx 204{,}3^\circ\mathrm{C},
h_{fg}(17{,}5\\ \mathrm{bar}) \approx 2086\\ \mathrm{kJ/kg}.
\n
Observação didática: esses dois valores (temperatura de saturação e calor latente) vêm de tabelas de propriedades termodinâmicas da água (steam tables). Se você tiver uma tabela diferente, pode interpolar; aqui uso valores típicos para p=17{,}5\\ \mathrm{bar}.

Passo 5

Calcular a energia por kg necessária ( \Delta h):\n
  • Usamos c_p = 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)} para a água líquida.\n
  • Diferença de temperatura:\n
\Delta T = T_{sat} - T_{mix} = 204{,}3 - 50{,}76271186 = 153{,}53728814\\ ^\circ\mathrm{C}.
\n
  • Energia sensível por kg para aquecer até a saturação:\n
c_p\Delta T = 4{,}18 \times 153{,}53728814 \approx 641{,}83\\ \mathrm{kJ/kg}.
\n
  • Logo, energia total por kg para vaporizar (sensível + latente):\n
\Delta h = c_p\Delta T + h_{fg} \approx 641{,}83 + 2086 = 2727{,}83\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Calcular a taxa de calor correspondente à entalpia (sem ainda o termo cinético):\n
\dot{Q}_{ent} = \dot{m}\,\Delta h = 295 \times 2727{,}83 \approx 804{,}709\\ \mathrm{kJ/min}.
\n
Interpretação: é a energia necessária por minuto para aquecer a mistura até T_{sat} e então vaporizar toda a vazão de 295\\ \mathrm{kg/min}.

Passo 7

Cálculo da velocidade do vapor de saída e do termo cinético (opcional, mas vamos incluir e comentar):\n
  • Primeiro convertemos vazão mássica para \mathrm{kg/s}:\n
\dot{m}_{s} = \frac{295}{60} \approx 4{,}9166667\\ \mathrm{kg/s}.
\n
  • Usando aproximação de gás ideal para estimar o volume específico do vapor saturado (bom para ordem de grandeza):\n
v_g \approx \frac{R\,T_{sat,K}}{p_{kPa}},
onde R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}, T_{sat,K} = 204{,}3+273{,}15 = 477{,}45\\ \mathrm{K} e p_{kPa}=1750\\ \mathrm{kPa}.\n
  • Logo:\n
v_g \approx \frac{0{,}4615 \times 477{,}45}{1750} \approx 0{,}12597\\ \mathrm{m^3/kg}.
\n
  • Vazão volumétrica do vapor:\n
\dot{V} = \dot{m}_{s}\,v_g \approx 4{,}9166667 \times 0{,}12597 \approx 0{,}6196\\ \mathrm{m^3/s}.
\n
  • Área da seção interna do tubo ( d=0{,}06\\ \mathrm{m}):\n
A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0{,}06)^2}{4} \approx 0{,}0028274\\ \mathrm{m^2}.
\n
  • Velocidade média do vapor:\n
V = \frac{\dot{V}}{A} \approx \frac{0{,}6196}{0{,}0028274} \approx 219{,}21\\ \mathrm{m/s}.
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  • Energia cinética por unidade de massa do vapor:\n
e_{k} = \frac{V^2}{2} \approx \frac{(219{,}21)^2}{2} \approx 24{,}03\\ \mathrm{kJ/kg}.
\n
  • Termo cinético por minuto:\n
\dot{E}_{k} = \dot{m}\,e_{k} = 295 \times 24{,}03 \approx 7{,}088\\ \times 10^{3}\\ \mathrm{kJ/min}.
\n
Comentário prático: \dot{E}_{k} é pequeno comparado a \dot{Q}_{ent} (é cerca de 0{,}9\%). Em muitos problemas de caldeira esse termo é desprezível; aqui eu o calculei e incluirei no total por completude.

Passo 8

Energia total de entrada na caldeira (entálpica + variação cinética do vapor de saída):\n
\dot{Q}_{total} = \dot{Q}_{ent} + \dot{E}_{k} \approx 804{,}709 + 7{,}088 \approx 811{,}797\\ \mathrm{kJ/min}.
\n
Comentário final e incentivo: essa é a taxa de calor que a caldeira precisa fornecer para transformar a alimentação líquida nas condições dadas em vapor saturado à pressão de 17{,}5\\ \mathrm{bar}, incluindo a pequena parcela associada à energia cinética do vapor de saída. Dá um número grande — normal, caldeiras trabalham com potências térmicas altas — mas você já aprendeu a montar o balanço passo a passo; repita esses cálculos com suas próprias tabelas de vapor para ficar confiante!

Resposta

8{,}12\times10^{5}\\ \mathrm{kJ/min}

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