Dois lados opostos de um retângulo tem cada um comprimento x. Se o perimetro do retângulo é 12 entăo a área, como função de x é
A x(12-x)
B x(6-x)
C] (6-x)^{2}
D x(12-2 x)
[B N.R.A.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dito):
  • Dois lados opostos de um retângulo têm cada um comprimento x.
  • O perímetro do retângulo é 12.
    A pergunta é: qual expressão representa a área do retângulo como função de x? Foram dadas quatro alternativas (A, B, C, D) e devo encontrar qual expressão corresponde à área em função de x.

Passo 2

Vamos identificar as variáveis geométricas do problema de forma clara e simples.
  • Chamamos de x o comprimento de dois lados opostos (já dado).
  • Chamamos de y o comprimento dos outros dois lados opostos (ainda não dado).
    Portanto o retângulo tem lados x e y.

Passo 3

Lembrar a fórmula do perímetro de um retângulo: o perímetro é a soma de todos os lados, ou seja, dois lados x mais dois lados y.
Escrevemos isso como a equação
2x+2y=12.
Essa é uma equação simples que relaciona x e y usando o dado do perímetro.

Passo 4

Resolver a equação do perímetro para isolar y. Primeiro podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar:
x+y=6.
Agora isolamos y:
y=6-x.
Isso significa que, dado um x, o outro lado y é 6-x. Observe que isso faz sentido: se x aumenta, y diminui para manter o perímetro fixo.

Passo 5

Agora lembrar a fórmula da área de um retângulo: a área é o produto dos comprimentos de dois lados adjacentes. Em símbolos,
A = x\cdot y.
Aqui A é a área (em unidades quadradas), x e y são os comprimentos dos lados (em unidades lineares).

Passo 6

Substituir a expressão de y que achamos no passo anterior na fórmula da área. Temos
A(x)=x\cdot(6-x).
Essa é a área escrita explicitamente como função de x. Podemos também desenvolver a multiplicação se quisermos uma forma polinomial:
A(x)=6x-x^{2}.

Passo 7

Comentário didático adicional (importante para prova):
  • O domínio natural dessa função, pensando em comprimentos físicos, é 0\le x\le 6, porque y=6-x deve ser não negativo. Se x for 0 ou 6 a área é zero; para 0<x<6 a área é positiva.
  • A expressão A(x)=x(6-x) é a forma direta e intuitiva: comprimento vezes largura.

Resposta

B x(6-x)

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