Resolva a equação diferencial, encontre a solução do PVI e faça um esboço do seu gráfico. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do PVI dado?
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI):
Resolver a equação diferencial (achar a família de soluções);
Encontrar a solução que satisfaz a condição inicial y(0)=3;
Fazer um esboço do gráfico dessa solução (descrever o comportamento);
Determinar o intervalo de validade (o maior intervalo em x que contém x=0 no qual essa solução existe).
Informações relevantes dadas:
A equação está dada na forma \dfrac{dy}{dx}=f(x,y) com f(x,y)=\dfrac{2x-5}{2y^{2}-3y}.
A condição inicial é o ponto (x,y)=(0,3).
Note que o lado direito torna-se singular quando 2y^{2}-3y=0, isto é, quando y=0 ou y=\tfrac{3}{2}. Essas são potenciais barreiras para a solução (pontos onde a equação não está definida).]
Passo 2
Identificar o método: a equação é separável (produto de função de x por função de y invertida). Explico o que é separável:
Uma equação dy/dx = g(x)\,h(y) é separável porque podemos escrever \dfrac{dy}{h(y)} = g(x)\,dx e integrar ambos os lados.
Aqui temos \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x-5}{2y^{2}-3y}. Podemos multiplicar ambos os lados por (2y^{2}-3y)\,dx para “separar” as variáveis:
(2y^{2}-3y)\,dy=(2x-5)\,dx.
Isto é o passo padrão para resolver uma equação separável: colocar tudo em y do lado de dy e tudo em x do lado de dx.
Passo 3
Integrar ambos os lados. Vou integrar cada membro e explicar cada termo:
\int (2y^{2}-3y)\,dy = \int (2x-5)\,dx.
Calcule a integral do lado esquerdo termo a termo:
Interpretação da solução implícita e singularidades (como determinar o intervalo de validade).
A equação original não está definida quando 2y^{2}-3y=0, isto é quando y=0 ou y=\tfrac{3}{2}. A solução que passará por (0,3) permanece numa folha da curva implícita enquanto y não atingir esses valores; ao atingir um desses valores a equação deixa de ser válida (denominador zero) e a solução não pode ser prolongada de forma clássica além desse ponto.
Para achar o intervalo máximo em x contendo 0 onde a solução existe, precisamos encontrar os valores de x para os quais a solução particular atinge y=\tfrac{3}{2} ou y=0. O primeiro desses eventos (o mais próximo de x=0) determina o limite direito da existência, se ocorrer para x>0; para o lado esquerdo fazemos análise similar.
Portanto, vamos calcular os x em que a solução particular satisfaz y=\tfrac{3}{2} ou y=0, usando a expressão implícita encontrada.
Passo 6
Calcular os x onde y=\tfrac{3}{2}.
Substituo y=\tfrac{3}{2} na expressão \dfrac{2}{3}y^{3}-\dfrac{3}{2}y^{2}=x^{2}-5x+\dfrac{9}{2}.
Observação importante (para não confundir): os pontos (x,y) com um dado x que satisfazem a equação implícita podem corresponder a diferentes valores de y (a equação implícita é uma curva cúbica em y). As soluções x acima dão valores onde a CURVA implícita atinge y=\tfrac{3}{2} (em x\approx1{,}709 e 3{,}291) e onde a curva atinge y=0 (em x\approx1{,}177 e 3{,}823). A folha particular que passa por (0,3) conecta-se de forma contínua a valores de y próximos de 3 quando x está próximo de 0; seguindo essa folha para x>0 ela atinge primeiro y=\tfrac{3}{2} em x=\dfrac{10-\sqrt{10}}{4}\approx1{,}7094 antes de alcançar quaisquer outros valores singulares nessa folha. Para x<0 a folha que contém (0,3) não encontra y=\tfrac{3}{2} nem y=0 em nenhum x<0 (os x que levam a esses y são positivos), logo para o lado esquerdo não há barreira de denominação — a solução estende-se para x\to -\infty.
Passo 8
Concluir o intervalo de validade e descrever o esboço do gráfico.
A equação original tem denominador zero em y=0 e y=\tfrac{3}{2}; a folha que passa por (0,3) atinge primeiro y=\tfrac{3}{2} quando
x=\frac{10-\sqrt{10}}{4}\approx 1{,}7094.
Portanto o maior intervalo em x que contém 0 onde a solução existe classically é
\left(-\infty,\\ \frac{10-\sqrt{10}}{4}\right).
Esboço do gráfico (descrição para desenhar na prova):
No ponto inicial x=0 temos y=3.
Para aumentar x a partir de 0, a derivada \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x-5}{2y^{2}-3y} é negativa (pois 2x-5<0 quando x pequeno e 2y^{2}-3y>0 para y=3), então y decresce enquanto x aumenta.
A solução decresce continuamente até aproximar-se de y=\tfrac{3}{2} quando x aproxima-se de \dfrac{10-\sqrt{10}}{4} pela esquerda; nesse ponto o denominador tende a zero e a inclinação \dfrac{dy}{dx} tende ao infinito (tangente vertical). Assim a curva tem uma espécie de “vertical” no limite direito da sua existência.
Para x<0 a solução aumenta ao recuar no eixo x (ver sinal de \dfrac{dy}{dx}), e não há barreira de denominador para x\to -\infty, de modo que a folha se prolonga para a esquerda indefinidamente.
Resposta
\displaystyle \frac{2}{3}y^{3}-\frac{3}{2}y^{2}=x^{2}-5x+\frac{9}{2}.
Intervalo de validade da solução do PVI contendo x=0: \displaystyle \left(-\infty,\\ \frac{10-\sqrt{10}}{4}\right).