Questão 3. Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI).
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}=\frac{2 x-5}{2 y^{2}-3 y} \\\ y(0)=3 \end{array}\right.
Resolva a equação diferencial, encontre a solução do PVI e faça um esboço do seu gráfico. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do PVI dado?

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI):
\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2x-5}{2y^{2}-3y},\\[6pt] y(0)=3. \end{array}\right.
O que nos é pedido:
  • Resolver a equação diferencial (achar a família de soluções);
  • Encontrar a solução que satisfaz a condição inicial y(0)=3;
  • Fazer um esboço do gráfico dessa solução (descrever o comportamento);
  • Determinar o intervalo de validade (o maior intervalo em x que contém x=0 no qual essa solução existe).
Informações relevantes dadas:
  • A equação está dada na forma \dfrac{dy}{dx}=f(x,y) com f(x,y)=\dfrac{2x-5}{2y^{2}-3y}.
  • A condição inicial é o ponto (x,y)=(0,3).
  • Note que o lado direito torna-se singular quando 2y^{2}-3y=0, isto é, quando y=0 ou y=\tfrac{3}{2}. Essas são potenciais barreiras para a solução (pontos onde a equação não está definida).]

Passo 2

Identificar o método: a equação é separável (produto de função de x por função de y invertida). Explico o que é separável:
  • Uma equação dy/dx = g(x)\,h(y) é separável porque podemos escrever \dfrac{dy}{h(y)} = g(x)\,dx e integrar ambos os lados.
  • Aqui temos \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x-5}{2y^{2}-3y}. Podemos multiplicar ambos os lados por (2y^{2}-3y)\,dx para “separar” as variáveis:
(2y^{2}-3y)\,dy=(2x-5)\,dx.
Isto é o passo padrão para resolver uma equação separável: colocar tudo em y do lado de dy e tudo em x do lado de dx.

Passo 3

Integrar ambos os lados. Vou integrar cada membro e explicar cada termo:
\int (2y^{2}-3y)\,dy = \int (2x-5)\,dx.
Calcule a integral do lado esquerdo termo a termo:
  • \displaystyle \int 2y^{2}\,dy = 2\cdot\frac{y^{3}}{3}=\frac{2}{3}y^{3}. (Regra: \int y^{n}dy = y^{n+1}/(n+1).)
  • \displaystyle \int -3y\,dy = -3\cdot\frac{y^{2}}{2}=-\frac{3}{2}y^{2}.
Portanto o lado esquerdo integra para \displaystyle \frac{2}{3}y^{3}-\frac{3}{2}y^{2}.
No lado direito:
  • \displaystyle \int 2x\,dx = x^{2}.
  • \displaystyle \int -5\,dx = -5x.
Logo o resultado da integração (com constante de integração C) é
\frac{2}{3}y^{3}-\frac{3}{2}y^{2}=x^{2}-5x+C.
Isto é a solução implícita geral da equação diferencial separável.

Passo 4

Aplicar a condição inicial y(0)=3 para determinar C. Substituo x=0 e y=3 na relação implícita:
\frac{2}{3}\cdot 3^{3}-\frac{3}{2}\cdot 3^{2}=0^{2}-5\cdot 0 + C.
Calcule passo a passo:
  • 3^{3}=27, então \dfrac{2}{3}\cdot 27 = 18.
  • 3^{2}=9, então \dfrac{3}{2}\cdot 9 = \dfrac{27}{2}=13{,}5.
  • Assim o lado esquerdo é 18-13{,}5 = 4{,}5 = \dfrac{9}{2}.
Portanto C=\dfrac{9}{2}. A solução particular (implícita) que satisfaz o PVI é
\frac{2}{3}y^{3}-\frac{3}{2}y^{2}=x^{2}-5x+\frac{9}{2}.

Passo 5

Interpretação da solução implícita e singularidades (como determinar o intervalo de validade).
  • A equação original não está definida quando 2y^{2}-3y=0, isto é quando y=0 ou y=\tfrac{3}{2}. A solução que passará por (0,3) permanece numa folha da curva implícita enquanto y não atingir esses valores; ao atingir um desses valores a equação deixa de ser válida (denominador zero) e a solução não pode ser prolongada de forma clássica além desse ponto.
  • Para achar o intervalo máximo em x contendo 0 onde a solução existe, precisamos encontrar os valores de x para os quais a solução particular atinge y=\tfrac{3}{2} ou y=0. O primeiro desses eventos (o mais próximo de x=0) determina o limite direito da existência, se ocorrer para x>0; para o lado esquerdo fazemos análise similar.
Portanto, vamos calcular os x em que a solução particular satisfaz y=\tfrac{3}{2} ou y=0, usando a expressão implícita encontrada.

Passo 6

Calcular os x onde y=\tfrac{3}{2}.
Substituo y=\tfrac{3}{2} na expressão \dfrac{2}{3}y^{3}-\dfrac{3}{2}y^{2}=x^{2}-5x+\dfrac{9}{2}.
Compute o lado esquerdo:
\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2}\right)^{3}-\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{2}{3}\cdot\frac{27}{8}-\frac{3}{2}\cdot\frac{9}{4} = \frac{54}{24}-\frac{27}{8} = \frac{9}{4}-\frac{27}{8} = -\frac{9}{8}.
Assim obtemos
x^{2}-5x+\frac{9}{2}=-\frac{9}{8}.
Passando todos os termos para um lado:
x^{2}-5x+\frac{9}{2}+\frac{9}{8}=0 \quad\Longrightarrow\quad 8x^{2}-40x+45=0.
Resolver esta quadrática (mostro os passos):
  • Discriminante \Delta = (-40)^{2}-4\cdot 8\cdot 45 =1600-1440=160.
  • \sqrt{\Delta}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}.
  • Então
x=\frac{40\pm 4\sqrt{10}}{16}=\frac{10\pm\sqrt{10}}{4}.
Numericamente:
x_{1}=\frac{10-\sqrt{10}}{4}\approx 1{,}7094,\qquad x_{2}=\frac{10+\sqrt{10}}{4}\approx 3{,}2906.

Passo 7

Calcular os x onde y=0.
Substituo y=0 na expressão implícita:
0 = x^{2}-5x+\frac{9}{2}.
Multiplicando por 2 para facilitar:
2x^{2}-10x+9=0.
Discriminante \Delta = (-10)^{2}-4\cdot 2\cdot 9 =100-72=28.
\sqrt{\Delta}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}.
Logo
x=\frac{10\pm 2\sqrt{7}}{4}=\frac{5\pm\sqrt{7}}{2}.
Numericamente:
x\approx 1{,}1771\quad\text{e}\quad x\approx 3{,}8229.
Observação importante (para não confundir): os pontos (x,y) com um dado x que satisfazem a equação implícita podem corresponder a diferentes valores de y (a equação implícita é uma curva cúbica em y). As soluções x acima dão valores onde a CURVA implícita atinge y=\tfrac{3}{2} (em x\approx1{,}709 e 3{,}291) e onde a curva atinge y=0 (em x\approx1{,}177 e 3{,}823). A folha particular que passa por (0,3) conecta-se de forma contínua a valores de y próximos de 3 quando x está próximo de 0; seguindo essa folha para x>0 ela atinge primeiro y=\tfrac{3}{2} em x=\dfrac{10-\sqrt{10}}{4}\approx1{,}7094 antes de alcançar quaisquer outros valores singulares nessa folha. Para x<0 a folha que contém (0,3) não encontra y=\tfrac{3}{2} nem y=0 em nenhum x<0 (os x que levam a esses y são positivos), logo para o lado esquerdo não há barreira de denominação — a solução estende-se para x\to -\infty.

Passo 8

Concluir o intervalo de validade e descrever o esboço do gráfico.
  • A solução particular obtida é a curva implícita
\frac{2}{3}y^{3}-\frac{3}{2}y^{2}=x^{2}-5x+\frac{9}{2}.
  • A equação original tem denominador zero em y=0 e y=\tfrac{3}{2}; a folha que passa por (0,3) atinge primeiro y=\tfrac{3}{2} quando
x=\frac{10-\sqrt{10}}{4}\approx 1{,}7094.
Portanto o maior intervalo em x que contém 0 onde a solução existe classically é
\left(-\infty,\\ \frac{10-\sqrt{10}}{4}\right).
Esboço do gráfico (descrição para desenhar na prova):
  • No ponto inicial x=0 temos y=3.
  • Para aumentar x a partir de 0, a derivada \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x-5}{2y^{2}-3y} é negativa (pois 2x-5<0 quando x pequeno e 2y^{2}-3y>0 para y=3), então y decresce enquanto x aumenta.
  • A solução decresce continuamente até aproximar-se de y=\tfrac{3}{2} quando x aproxima-se de \dfrac{10-\sqrt{10}}{4} pela esquerda; nesse ponto o denominador tende a zero e a inclinação \dfrac{dy}{dx} tende ao infinito (tangente vertical). Assim a curva tem uma espécie de “vertical” no limite direito da sua existência.
  • Para x<0 a solução aumenta ao recuar no eixo x (ver sinal de \dfrac{dy}{dx}), e não há barreira de denominador para x\to -\infty, de modo que a folha se prolonga para a esquerda indefinidamente.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}y^{3}-\frac{3}{2}y^{2}=x^{2}-5x+\frac{9}{2}.
Intervalo de validade da solução do PVI contendo x=0: \displaystyle \left(-\infty,\\ \frac{10-\sqrt{10}}{4}\right).

Exercícios relacionados