O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituição
transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de
por
fornece a solução da equação original.
Mostre que a equação dada é homogênea.
Resolva a equação diferencial.
Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
Mostre que a equação dada é homogênea.
Resolva a equação diferencial.
Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede:
- Mostrar que a equação é homogênea.
- Resolver a equação diferencial (obter a família de curvas integrais).
- Desenhar um campo de direções e algumas curvas integrais (dar uma descrição de como são).
- Dizer se as curvas integrais são simétricas em relação à origem.
Informações relevantes fornecidas:
- A razão entre polinómios do lado direito tem numerador de grau
em e denominador de grau em . - Não foi dada nenhuma condição inicial; a solução será a família geral com constante arbitrária.
Passo 2
O que significa ser homogênea: uma equação do tipo
é homogênea se
para todo
; em prática isso ocorre quando
depende apenas da razão
. Vamos reescrever o lado direito em função de
.
Começo reescrevendo cada termo dividindo numerador e denominador por
:
Escrevendo
obtemos
que depende somente de
. Portanto a equação é homogênea.
Passo 3
Aplicar a substituição padrão para equações homogêneas: seja
Derivando em relação a
obtemos a fórmula conhecida (produto):
Substituindo na equação original, usando a forma em
do passo anterior,
Passo 4
Isolando
e simplificando:
Portanto a equação para
é separável:
Passo 5
Integrar ambos os lados. No lado esquerdo use a substituição
(então
):
Do lado direito
Igualando e absorvendo constantes:
onde
. Eliminando a notação de valor absoluto e permitindo constante real arbitrária
, obtemos a forma equivalente
onde
é uma constante real arbitrária (para incluir as soluções limites também trataremos
separadamente, ver abaixo).
Passo 6
Voltar à variável original
usando
. Substituindo:
Multiplicando por
dá uma forma implícita simples da família de soluções:
Isto equivale à forma explícita
onde o domínio de
deve satisfazer
para soluções reais (ou então aceitar soluções reais com domínio onde a raiz é definida). Note também que
pode ser zero; para
obtemos as retas
.
Passo 7
Verificação de soluções especiais (constantes
que foram “perdedas” ao separar): se
(isto é,
) então
é constante e a equação original dá
o que é satisfeito (porque
neste caso). Logo
e
são soluções válidas — e aparecem na família com
. Observação sobre
: a equação original tem denominador
, logo
é uma linha singular do campo de direções; contudo a família implícita
passa por
para qualquer
(pois
), mostrando que a origem é um ponto onde a existência/uniqueness pode falhar.
Passo 8
Campo de direções e esboço de curvas integrais (descrição prática para desenhar na prova):
- A inclinação em qualquer ponto
é dada por . - Exemplos numéricos úteis para esboçar:
- Em
: (reta com inclinação ). - Em
: (tendência forte para cima). - Em
: denominador — inclinação indefinida (tangente vertical) onde uma curva integral possa cruzar o eixo . - Em
: mesma inclinação que em , pois a expressão do lado direito depende de (mais abaixo faço observação sobre simetria).
- Em
- As curvas integrais dadas por
têm as seguintes formas qualitativas: - Para
: perto de a relação aproxima , logo as curvas saem da origem tangentes às retas , mas para suficientemente grande a componente domina e as curvas mudam de forma (crescem mais rápido). - Para
: existe um intervalo de em que pode ficar negativo (logo não há solução real ali); as curvas reais existem apenas onde . - As retas
(caso ) são as soluções mais simples, passantes pela origem com inclinação .
- Para
- Para desenhar o campo: em uma grade de pontos calcule as inclinações com a fórmula e desenhe pequenos segmentos com essas inclinações; sobreponha algumas curvas de
para valores de positivos, negativos e para ver o comportamento.
Passo 9
Simetria em relação à origem — análise:
- Substituindo
na equação do campo de direções:
ou seja, a inclinação em
é igual à inclinação em
. Portanto o campo de direções como conjunto é invariável por rotação de
(simetria central).
- Para as curvas integrais implícitas
, aplicando a transformação obtém-se
isto é, a curva de constante
é levada para a curva de constante
. Conclusão: a família inteira de curvas integrais é simétrica em relação à origem, mas uma curva individual só é enviada em si mesma se e somente se
, isto é, apenas as retas
são invariantes pela rotação de
.
Resposta
A equação é homogênea (depende apenas de
).
Solução geral implícita: com
(equivalente a
quando a raiz for real); as soluções especiais
correspondem a
.
O campo de direções tem inclinação ; a família de curvas integrais é simétrica em relação à origem como conjunto (a transformação
troca a curva de constante
pela de constante
); apenas as curvas
são invariantes individualmente.
Solução geral implícita:
O campo de direções tem inclinação