O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituição y=x v(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de v por y / x fornece a solução da equação original.
Mostre que a equação dada é homogênea.
Resolva a equação diferencial.
Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
\frac{d y}{d x}=\frac{3 y^{2}-x^{2}}{2 x y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{3 y^{2}-x^{2}}{2 x y},
e pede:
  • Mostrar que a equação é homogênea.
  • Resolver a equação diferencial (obter a família de curvas integrais).
  • Desenhar um campo de direções e algumas curvas integrais (dar uma descrição de como são).
  • Dizer se as curvas integrais são simétricas em relação à origem.
Informações relevantes fornecidas:
  • A razão entre polinómios do lado direito tem numerador de grau 2 em x,y e denominador de grau 2 em x,y.
  • Não foi dada nenhuma condição inicial; a solução será a família geral com constante arbitrária.

Passo 2

O que significa ser homogênea: uma equação do tipo \dfrac{dy}{dx}=F(x,y) é homogênea se F(tx,ty)=F(x,y) para todo t\neq0; em prática isso ocorre quando F depende apenas da razão y/x. Vamos reescrever o lado direito em função de v:=y/x.
Começo reescrevendo cada termo dividindo numerador e denominador por x^2:
\frac{3y^{2}-x^{2}}{2xy}=\frac{3\big(\dfrac{y}{x}\big)^{2}-1}{2\big(\dfrac{y}{x}\big)}.
Escrevendo v=\dfrac{y}{x} obtemos
\frac{3y^{2}-x^{2}}{2xy}=\frac{3v^{2}-1}{2v},
que depende somente de v=y/x. Portanto a equação é homogênea.

Passo 3

Aplicar a substituição padrão para equações homogêneas: seja
y=x v(x).
Derivando em relação a x obtemos a fórmula conhecida (produto):
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação original, usando a forma em v do passo anterior,
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{3v^{2}-1}{2v}.

Passo 4

Isolando \dfrac{dv}{dx} e simplificando:
x\frac{dv}{dx}=\frac{3v^{2}-1}{2v}-v=\frac{3v^{2}-1-2v^{2}}{2v}=\frac{v^{2}-1}{2v}.
Portanto a equação para v é separável:
\frac{2v}{v^{2}-1}\,dv=\frac{dx}{x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados. No lado esquerdo use a substituição u=v^{2}-1 (então du=2v\,dv):
\int \frac{2v}{v^{2}-1}\,dv=\int \frac{du}{u}=\ln|u|+\text{const}=\ln|v^{2}-1|+C_1.
Do lado direito
\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C_2.
Igualando e absorvendo constantes:
\ln|v^{2}-1|=\ln|x|+C \quad\Rightarrow\quad |v^{2}-1|=A|x|,
onde A=e^{C}>0. Eliminando a notação de valor absoluto e permitindo constante real arbitrária C, obtemos a forma equivalente
v^{2}-1=C x,
onde C é uma constante real arbitrária (para incluir as soluções limites também trataremos C=0 separadamente, ver abaixo).

Passo 6

Voltar à variável original y usando v=\dfrac{y}{x}. Substituindo:
\left(\frac{y}{x}\right)^{2}-1=C x.
Multiplicando por x^{2} dá uma forma implícita simples da família de soluções:
y^{2}=x^{2}+C x^{3}.
Isto equivale à forma explícita
y=\pm x\sqrt{1+C x},
onde o domínio de x deve satisfazer 1+C x\ge0 para soluções reais (ou então aceitar soluções reais com domínio onde a raiz é definida). Note também que C pode ser zero; para C=0 obtemos as retas y=\pm x.

Passo 7

Verificação de soluções especiais (constantes v que foram “perdedas” ao separar): se v=\pm1 (isto é, y=\pm x) então v é constante e a equação original dá
\frac{dy}{dx}=\pm1,\qquad \frac{3y^{2}-x^{2}}{2xy}=\pm1,
o que é satisfeito (porque y^{2}=x^{2} neste caso). Logo y=x e y=-x são soluções válidas — e aparecem na família com C=0. Observação sobre x=0: a equação original tem denominador 2xy, logo x=0 é uma linha singular do campo de direções; contudo a família implícita y^{2}=x^{2}+C x^{3} passa por (0,0) para qualquer C (pois 0=0), mostrando que a origem é um ponto onde a existência/uniqueness pode falhar.

Passo 8

Campo de direções e esboço de curvas integrais (descrição prática para desenhar na prova):
  • A inclinação em qualquer ponto (x,y) é dada por \dfrac{3y^{2}-x^{2}}{2xy}.
  • Exemplos numéricos úteis para esboçar:
    • Em (1,1): \dfrac{3\cdot1^{2}-1^{2}}{2\cdot1\cdot1}=1 (reta com inclinação 1).
    • Em (1,2): \dfrac{3\cdot4-1}{2\cdot1\cdot2}=\dfrac{11}{4}=2{,}75 (tendência forte para cima).
    • Em (1,0): denominador 2xy=0 — inclinação indefinida (tangente vertical) onde uma curva integral possa cruzar o eixo x.
    • Em (-1,-1): mesma inclinação que em (1,1), pois a expressão do lado direito depende de y/x (mais abaixo faço observação sobre simetria).
  • As curvas integrais dadas por y^{2}=x^{2}+C x^{3} têm as seguintes formas qualitativas:
    • Para C>0: perto de x=0 a relação aproxima y^{2}\approx x^{2}, logo as curvas saem da origem tangentes às retas y=\pm x, mas para x suficientemente grande a componente C x^{3} domina e as curvas mudam de forma (crescem mais rápido).
    • Para C<0: existe um intervalo de x em que 1+C x pode ficar negativo (logo não há solução real ali); as curvas reais existem apenas onde 1+C x\ge0.
    • As retas y=\pm x (caso C=0) são as soluções mais simples, passantes pela origem com inclinação \pm1.
  • Para desenhar o campo: em uma grade de pontos calcule as inclinações com a fórmula e desenhe pequenos segmentos com essas inclinações; sobreponha algumas curvas de y^{2}=x^{2}+C x^{3} para valores de C positivos, negativos e 0 para ver o comportamento.

Passo 9

Simetria em relação à origem — análise:
  • Substituindo (x,y)\mapsto(-x,-y) na equação do campo de direções:
\frac{3(-y)^{2}-(-x)^{2}}{2(-x)(-y)}=\frac{3y^{2}-x^{2}}{2xy},
ou seja, a inclinação em (-x,-y) é igual à inclinação em (x,y). Portanto o campo de direções como conjunto é invariável por rotação de 180^\circ (simetria central).
  • Para as curvas integrais implícitas y^{2}=x^{2}+C x^{3}, aplicando a transformação (x,y)\mapsto(-x,-y) obtém-se
y^{2}=x^{2}-C x^{3},
isto é, a curva de constante C é levada para a curva de constante -C. Conclusão: a família inteira de curvas integrais é simétrica em relação à origem, mas uma curva individual só é enviada em si mesma se e somente se C=0, isto é, apenas as retas y=\pm x são invariantes pela rotação de 180^\circ.

Resposta

A equação é homogênea (depende apenas de y/x).
Solução geral implícita: y^{2}=x^{2}+C x^{3} com C\in\mathbb{R} (equivalente a y=\pm x\sqrt{1+C x} quando a raiz for real); as soluções especiais y=\pm x correspondem a C=0.
O campo de direções tem inclinação \dfrac{3y^{2}-x^{2}}{2xy}; a família de curvas integrais é simétrica em relação à origem como conjunto (a transformação (x,y)\mapsto(-x,-y) troca a curva de constante C pela de constante -C); apenas as curvas y=\pm x são invariantes individualmente.

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