Os dois lados paralelos de um retângulo são esticados uniformemente a uma taxa constante de
, enquanto os outros dois lados paralelos são comprimidos uniformemente a uma taxa constante de modo que a figura permaneça um retângulo de área
. Qual taxa de variação do perímetro
do retângulo quando o comprimento de um dos lados que está crescendo é:
Quais são as dimensões para as quais o perímetro deixa de diminuir?
Quais são as dimensões para as quais o perímetro deixa de diminuir?
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um retângulo cujos lados medem
e
. O lado
está aumentando à taxa constante de
enquanto o outro lado
varia de modo que a área permaneça constante em
. Vamos calcular a taxa de variação do perímetro
e, em seguida, achar as dimensões para as quais essa taxa deixa de ser negativa.
Passo 2
Como a área é constante, temos
Isolando
vem
Derivando ambos os lados em relação a
,
Passo 3
O perímetro é
Derivando em relação a
,
Passo 4
Para o perímetro deixar de diminuir precisamos de
, ou seja,
Então
Resposta
A taxa de variação do perímetro é
e o perímetro deixa de diminuir exatamente quando os lados medem