Os dois lados paralelos de um retângulo são esticados uniformemente a uma taxa constante de 2 cm / s, enquanto os outros dois lados paralelos são comprimidos uniformemente a uma taxa constante de modo que a figura permaneça um retângulo de área 50 cm^2. Qual taxa de variação do perímetro P do retângulo quando o comprimento de um dos lados que está crescendo é:
Quais são as dimensões para as quais o perímetro deixa de diminuir?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um retângulo cujos lados medem x e y. O lado x está aumentando à taxa constante de
dxdt=2 cm/s,
enquanto o outro lado y varia de modo que a área permaneça constante em 50 cm^2. Vamos calcular a taxa de variação do perímetro
P=2(x+y)
e, em seguida, achar as dimensões para as quais essa taxa deixa de ser negativa.

Passo 2

Como a área é constante, temos
xy = 50
Isolando y vem
y = 50x
Derivando ambos os lados em relação a t,
dydt = -50x^2,dxdt = -50x^2cdot 2 = -100x^2 cm/s

Passo 3

O perímetro é
P = 2(x+y)
Derivando em relação a t,
dPdt = 2l(dxdt + dydtr) = 2l(2 - 100x^2r) cm/s

Passo 4

Para o perímetro deixar de diminuir precisamos de dPdt=0, ou seja,
2 - 100x^2 = 0 Longrightarrow x^2 = 50 Longrightarrow x = 5raiz2 cm
Então
y = 50x = 505raiz2 = 5raiz2 cm

Resposta

A taxa de variação do perímetro é
dPdt = 2l(2 - 100x^2r) cm/s,
e o perímetro deixa de diminuir exatamente quando os lados medem
x = y = 5raiz2 cm

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