Use a regra de LHôpital para calcular os seguintes limites:
lim x 0 e^x-1x^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 0e^x-1x^2
usando a regra de L’Hôpital. Aqui o conteúdo é limite de quociente com indeterminação do tipo 0/0.

Passo 2

Verificamos a forma original:
f(x)=e^x-1, g(x)=x^2
e ao xto0 temos
f(0)=e^0-1=0, g(0)=0^2=0,
logo é uma indeterminação 0/0, que nos autoriza a usar L’Hôpital, desde que f e g sejam diferenciáveis perto de 0 e g' não seja zero ali (exceto no próprio ponto).

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
f'(x)=ddx(e^x-1)=e^x, g'(x)=ddx(x^2)=2x
Portanto
limxto 0e^x-1x^2 = limxto 0e^x2x

Passo 4

Agora analisamos
limxto 0e^x2x
Quando xto0^+, o numerador tende a 1 e o denominador tende a 0^+, de modo que a fração cresce sem limite, isto é, vai para +infty.
Quando xto0^-, o numerador tende a 1 e o denominador tende a 0^-, fazendo a fração ir para -infty.
Como os dois lados não coincidem, o limite bilateral não existe (diverge).

Resposta

O limite não existe.
Mais precisamente,
limxto 0^+e^x-1x^2=+infty e limxto 0^-e^x-1x^2=-infty

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