Dois líquidos imiscíveis e incompressíveis estão escoando na direção x em uma fenda horizontal estreita de comprimento L e largura W sob a influência de um gradiente de pressão horizontal ( p0-pL )/L. As vazões dos fluidos são ajustadas de modo que metade da fenda é preenchida com o fluido I (a fase mais densa) e a outra metade com o fluido II (a fase menos densa). Os fluidos escoam lentamente de tal modo que a interface se mantém perfeitamente plana. Calcule os perfis de tensão de cisalhamento e velocidade nas duas fases.

Fluido II

Fluido I

Passo 1

Temos dois fluidos imiscíveis em escoamento laminar forçado ao longo de x numa fenda de espessura total H, preenchida de y=0 até y=h pelo fluido I (viscosidade mu1) e de y=h até y=H pelo fluido II (viscosidade mu2). O gradiente de pressão é constante em x:
dpdx=pL-p0L=-G, G=p0-pLL>0
Queremos achar tauxy(y) e u(y) em cada fase, usando
dtauxydy=dpdx=-G, tauxy=mu,dudy,
com as condições de não-deslizamento u(0)=u(H)=0 e continuidade de u e tauxy em y=h.

Passo 2

Integramos dtauxy/dy=-G em cada região; como a tensão na interface é única, a constante de integração C é a mesma em ambas as fases. Chamando tauw1=tauxy(0), obtemos
tauxy(y)=-G,y+tauw1, 0<= y<= H

Passo 3

Usando mui,du/dy=tauxy(y), integramos em cada fase:
para o fluido I ( 0<= y<= h), impondo u1(0)=0,
u1(y) =integral0^y-G,tilde y+tauw1mu1,dtilde y =-G,y^22,mu1+tauw1,ymu1
para o fluido II ( h<= y<= H), integramos e impomos u2(H)=0:
u2(y) =-G,y^22,mu2+tauw1,ymu2+A2,
onde
0=u2(H) =-G,H^22,mu2+tauw1,Hmu2+A2 ;Longrightarrow; A2 =G,H^22,mu2-tauw1,Hmu2

Passo 4

Impondo continuidade de velocidade em y=h, u1(h)=u2(h), resolvemos para tauw1. Para h=H/2 simplifica-se muito. O resultado é
tauw1 =G,H;3,mu1+mu24,l(mu1+mu2r)

Passo 5

Finalmente, adotando h=H/2, os perfis tornam-se
boxedtauxy(y) =,tauw1-G,y l(0<= y<= Hr), tauw1 =G,H,3,mu1+mu24(mu1+mu2) boxed u1(y) =-G,y^22,mu1 +tauw1,ymu1, 0<= y<= H2,
boxed u2(y) =-G,y^22,mu2 +tauw1,ymu2 +G,H^22,mu2 -tauw1,Hmu2, H2<= y<= H

Resposta

As tensões de cisalhamento variam linearmente em y segundo
tauxy(y)=G,H,3mu1+mu24(mu1+mu2)-G,y,
e as velocidades são dadas pelas parábolas em cada fase acima, com G=(p0-pL)/L.

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