Dois líquidos imiscíveis e incompressíveis estão escoando na direção x em uma fenda horizontal estreita de comprimento L e largura W sob a influência de um gradiente de pressão horizontal (
)/L. As vazões dos fluidos são ajustadas de modo que metade da fenda é preenchida com o fluido I (a fase mais densa) e a outra metade com o fluido II (a fase menos densa). Os fluidos escoam lentamente de tal modo que a interface se mantém perfeitamente plana. Calcule os perfis de tensão de cisalhamento e velocidade nas duas fases.
Fluido II
Fluido I
Passo 1
Temos dois fluidos imiscíveis em escoamento laminar forçado ao longo de
numa fenda de espessura total
, preenchida de
até
pelo fluido I (viscosidade
) e de
até
pelo fluido II (viscosidade
). O gradiente de pressão é constante em
:
Queremos achar
e
em cada fase, usando
com as condições de não-deslizamento
e continuidade de
e
em
.
Passo 2
Integramos
em cada região; como a tensão na interface é única, a constante de integração
é a mesma em ambas as fases. Chamando
, obtemos
Passo 3
Usando
, integramos em cada fase:
para o fluido I ( ), impondo
,
para o fluido I (
para o fluido II (
), integramos e impomos
:
onde
Passo 4
Impondo continuidade de velocidade em
,
, resolvemos para
. Para
simplifica-se muito. O resultado é
Passo 5
Finalmente, adotando
, os perfis tornam-se
Resposta
As tensões de cisalhamento variam linearmente em
segundo
e as velocidades são dadas pelas parábolas em cada fase acima, com
.