(5.79 Incropera) A massa específica e o calor específico de um material plástico são conhecidos ( rho=950 kg / m^3; c=1100 J / kg K ), mas sua condutividade térmica é desconhecida. Para determinar a condutividade térmica uma experiência é realizada, na qual uma amostra fina de um material é aquecida a uma temperatura uniforme de 100 ^circ C e então resfriada pela passagem de ar a 25^circ C sobre uma superfície. Um termopar fixado a uma distância de xm=10 mm abaixo da superfície registra a resposta térmica do plástico durante o resfriamento. Se o coeficiente de convecção associado com a corrente de ar é h=200 W / m^2 K e a temperatura 60 ^circ C é registrada 5 min após iniciar o resfriamento, qual é a condutividade térmica do material?

Passo 1

O enunciado descreve um problema de condução transiente unidimensional numa amostra espessa (modelo semirrresaltado) inicialmente à temperatura uniforme Ti=100^circC, resfriada por convecção na superfície x=0 com fluido a Tinfty=25^circC e coeficiente h=200 W/m^2K. A uma profundidade xm=10 mm registra-se, no instante t=300 s, a temperatura T(xm,t)=60^circC. Sabemos rho=950 kg/m^3 e c=1100 J/kg,K mas não sabemos a condutividade k. Vamos usar a solução analítica para um semi-infinito com BC de convecção em x=0.

Passo 2

Definimos a temperatura reduzida
theta(x,t)=T(x,t)-Tinfty, thetai=Ti-Tinfty,
e os parâmetros
alpha=krho c, eta=x2raizalpha t, beta=hraizalpha tk
A solução para um semi-infinito convectado em x=0 é (Incropera & DeWitt)
theta(x,t)thetai =erfc(eta) -expl(beta^2+2etabetar),erfc(eta+beta)

Passo 3

No nosso caso
theta(xm,t)thetai =T(xm,t)-TinftyTi-Tinfty =60-25100-25 =3575approx0,4667
Logo precisamos achar k que satisfaça
f(k);equiv;erfc(eta) -expl(beta^2+2etabetar),erfc(eta+beta) -0,4667 =0,
com eta e beta funções de k.

Passo 4

Substituindo alpha=k/(rho c),
eta=xm2raiz(k/(rho c)),t, beta=hraiz(k/(rho c)),tk,
vemos que ambos dependem de k. Resolvemos f(k)=0 numericamente (por iteração ou bisseção).

Passo 5

Fazendo bisseção entre valores típicos de k em plásticos (por ex. 0,2 a 1,0,\mathrm{W/mK}) e avaliando f(k), encontramos a raiz em torno de
k approx 0,48 W/(mcdot K)

Resposta

A condutividade térmica do material é aproximadamente
boxedkapprox0,48 W/(mcdot K)

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