(5.59 Incropera) Uma esfera de 80 mm de diâmetro (
e
) está inicialmente a uma temperatura uniforme elevada e é imersa em um banho de óleo mantido a
. O coeficiente de convecção para o processo de resfriamento é
. Em um dado instante, a temperatura da superfície da esfera é de
. Qual a temperatura correspondente no centro da esfera?
Passo 1
O enunciado trata do resfriamento transiente de uma esfera de diâmetro
mm (logo raio
mm) imersa em óleo a
. Os dados são
e sabemos que, num certo instante, a temperatura da superfície vale
. Queremos a temperatura no centro
.
Conteúdo: condução transiente em esfera com convecção na fronteira, usando a aproximação de um termo dominante.
Conteúdo: condução transiente em esfera com convecção na fronteira, usando a aproximação de um termo dominante.
Passo 2
Primeiro calculamos o número de Biot
Como
, o campo de temperatura não é uniforme, então usamos a solução de separação de variáveis e tomamos só o primeiro modo. A equação para o primeiro autovalor
vem da condição de contorno convectiva e é
Numericamente, para
obtém-se
.
Passo 3
Na aproximação de um termo, o perfil radial é
No centro (
) o fator espacial vale 1, e na superfície (
) vale
. Assim, eliminando , tem-se
Logo
Passo 4
Substituindo
e
, obtém-se
Resposta
A temperatura no centro da esfera é aproximadamente
.