(5.59 Incropera) Uma esfera de 80 mm de diâmetro ( k=50 W / m K e alpha=1,5.10^-6 m^2 / s ) está inicialmente a uma temperatura uniforme elevada e é imersa em um banho de óleo mantido a 50 ^circ C. O coeficiente de convecção para o processo de resfriamento é 1000 W / m^2 K. Em um dado instante, a temperatura da superfície da esfera é de 150^circ C. Qual a temperatura correspondente no centro da esfera?

Passo 1

O enunciado trata do resfriamento transiente de uma esfera de diâmetro D=80 mm (logo raio R=40 mm) imersa em óleo a Tinfty=50 ^circC. Os dados são
k = 50W/(mcdot K), alpha = 1,5times10^-6m^2/s, h = 1000W/(m^2cdot K),
e sabemos que, num certo instante, a temperatura da superfície vale Ts=150 ^circC. Queremos a temperatura no centro T0.
Conteúdo: condução transiente em esfera com convecção na fronteira, usando a aproximação de um termo dominante.

Passo 2

Primeiro calculamos o número de Biot
Bi=h,Rk =1000cdot0,0450=0,8
Como Bi>0,1, o campo de temperatura não é uniforme, então usamos a solução de separação de variáveis e tomamos só o primeiro modo. A equação para o primeiro autovalor zeta1 vem da condição de contorno convectiva e é
1 - zetacotzeta ;=;Bi,zeta
Numericamente, para Bi=0,8 obtém-se zeta1approx1,82.

Passo 3

Na aproximação de um termo, o perfil radial é
No centro ( ) o fator espacial vale 1, e na superfície ( ) vale . Assim, eliminando , tem-se
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Passo 4

Substituindo zeta1=1,82 e sin(1,82)approx0,968, obtém-se
zeta1sinzeta1approx1,820,968approx1,88,
T0 approx 50 + 1,88,(150 - 50) = 50 + 188 = 238 ^circC

Resposta

A temperatura no centro da esfera é aproximadamente 238 ^circC.

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