Dois líquidos newtonianos imiscíveis escoam em regime permanente entre duas placas paralelas grandes sob a influência de um gradiente de pressão aplicado. A placa inferior é fixa, mas a placa superior é puxada com uma velocidade constante de 
 . A espessura h de cada camada de fluido é de 
 . Os perfis de velocidades em ambas as camadas são dados por:
 
 
onde a, b e c são constantes.
a) Determine os valores das constantes a, b e c.
b) Obtenha uma expressão para a relação entre as viscosidades 
c) Determine a magnitude e a direção das forças exercidas pelo fluido sobre ambas as placas se 
  Pa.s e cada placa tem uma área superficial de 
 .
a) Determine os valores das constantes a, b e c.
b) Obtenha uma expressão para a relação entre as viscosidades
c) Determine a magnitude e a direção das forças exercidas pelo fluido sobre ambas as placas se
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos dois líquidos newtonianos que não se misturam e estão fluindo entre duas placas paralelas. A placa de baixo está fixa, e a de cima está se movendo com uma velocidade constante de 
 . Cada camada de fluido tem uma espessura de 
 . As velocidades dos fluidos são dadas pelas equações:
Precisamos encontrar os valores das constantes 
 , 
  e 
 . Para isso, vamos usar as condições de contorno e a continuidade das velocidades nas interfaces dos fluidos.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar as condições de contorno. Na placa fixa (y = -0,5 m), a velocidade do fluido 
  deve ser zero, pois a placa não está se movendo. Então, substituímos 
  na equação de 
 :
Simplificando:
Passo 3
Agora, consideramos a condição na placa superior (y = 0,5 m). A velocidade do fluido 
  deve ser igual à velocidade da placa, que é 
 . Substituímos 
  na equação de 
 :
Simplificando:
Passo 4
Além disso, na interface entre os dois fluidos (y = 0), as velocidades devem ser contínuas. Então, 
  quando 
 :
Passo 5
Agora que já temos 
  e 
 , substituímos 
  na Equação 1 para encontrar 
 :
Resposta
As constantes são: