Dois modelos são frequentemente usados para explicar o comportamento eletrônico nos metais: o modelo clássico do “mar de elétrons” e a teoria do orbital molecular estendida ao estado sólido. Compare esses dois modelos, destacando as limitações do modelo clássico e como a teoria do orbital molecular fornece uma explicação mais precisa para a condutividade elétrica dos metais.

Passo 1

O enunciado pede para comparar dois modelos de condução em metais: o modelo clássico do “mar de elétrons” e a teoria de orbital molecular estendida ao estado sólido. O conteúdo envolve mecânica estatística clássica versus mecânica quântica de elétrons em um retículo periódico, e vamos precisar entender conceitos como mobilidade eletrônica, princípio de Pauli, bandas de energia e funções de Bloch.

Passo 2

No modelo clássico do mar de elétrons (Drude–Lorentz), trata-se os elétrons de valência como um gás livre de partículas carregadas se movendo em um potencial uniforme criado pelos íons positivos fixos. Aplica-se a estatística de Maxwell–Boltzmann e assume-se colisões esporádicas com tempo médio entre colisões \tau. A condutividade elétrica \sigma surge da solução da equação de movimento clássica sob campo elétrico \mathbf{E}, levando à lei de Ohm macroscópica
\sigma = \frac{n e^2 \tau}{m}\,,
onde n é a densidade de elétrons, e a carga elementar e m a massa efetiva do elétron.

Passo 3

As principais limitações desse modelo são:
  1. Não incorpora o princípio de Pauli – trata elétrons como partículas clássicas, mas na realidade são férmions sujeitos a estatística de Fermi–Dirac.
  2. Previsão equivocada do calor específico eletrônico: o modelo clássico dá um valor muito maior que o observado em baixa temperatura.
  3. Incapacidade de explicar efeitos de magnetorresistência, efeito Hall quântico ou anisotropias observadas em certos cristais.
  4. Não prevê a existência de bandas proibidas nem justifica por que alguns sólidos são isolantes, semicondutores ou metais.

Passo 4

A teoria de orbital molecular estendida ao estado sólido (teoria de bandas) parte da combinação quântica dos orbitais atômicos em um cristal periódico. Cada nível atômico gera uma banda de energia contínua quando muito átomos se aproximam. Usam-se funções de Bloch
\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})\,e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}
para descrever estados quânticos indexados pelo número de banda n e vetor de onda \mathbf{k}. As bandas dividem-se em valência e condução, e sua ocupação obedece à distribuição de Fermi–Dirac

Passo 5

No modelo de bandas, a condutividade elétrica surge porque existem bandas parcialmente ocupadas ou bandas de condução vazias logo acima da banda de valência. Elétrons em estados com energia próxima ao nível de Fermi E_F podem ser excitados pelo campo e se deslocar, gerando corrente. Além disso, a teoria de bandas permite calcular a massa efetiva quântica m^* e a densidade de estados D(E), explicando com precisão a dependência com temperatura, o valor correto do calor específico e fenômenos quânticos de transporte (efeito Hall quântico, magnetoresistência, etc.).

Resposta

O modelo clássico do mar de elétrons explica qualitativamente a condutividade via colisões e lei de Ohm, mas falha ao ignorar estatística de férmions, calor específico e fenômenos quânticos, não prevê bandas nem isolantes. Já a teoria de orbital molecular estendida forma bandas de energia usando funções de Bloch, incorpora Fermi–Dirac, define massa efetiva e densidade de estados, e assim fornece uma descrição quantitativa e precisa da condutividade elétrica em metais.

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