Dois moles de gás ideal, a 35^{\circ} \mathrm{C} e 2 atm, realizam uma expansão na qual o seu volume duplica. Determine o trabalho que pode ser realizado, considerando C_{V, m}=29,3 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1} e a expansão:
isotérmica e realizada contra uma pressão externa constante e igual à pressão final do gás;

Passo 1

O enunciado dá n=2 mol de um gás ideal inicialmente em T=35^\circ\mathrm C=308{,}15\\ \mathrm K e P_i=2\\ \mathrm{atm}. O volume dobra V_f=2V_i. Vamos calcular o trabalho realizado pelo gás em duas trajetórias:
  1. expansão isotérmica reversível;
  2. expansão irreversível contra pressão externa constante igual à pressão final do gás.

Passo 2

Para a expansão isotérmica reversível vale
W_{\rm iso} = \int_{V_i}^{V_f} P\,dV = nR T \ln\frac{V_f}{V_i}.
Aqui usamos a lei dos gases ideais e a condição de temperatura constante para substituir P=nRT/V.

Passo 3

Substituindo n=2, R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}, T=308{,}15\\ \mathrm K e \ln(V_f/V_i)=\ln2:
W_{\rm iso} = 2\cdot 8{,}314 \cdot 308{,}15 \cdot \ln2 \approx 2\cdot 8{,}314 \cdot 308{,}15 \cdot 0{,}6931 \approx 3{,}55\times10^3\\ \mathrm J.

Passo 4

Para a expansão irreversível contra pressão externa constante P_{\rm ext}=P_f, primeiro determinamos P_f. Como V_f=2V_i e a temperatura é a mesma,
P_f = P_i\frac{V_i}{V_f} = 2\\ \mathrm{atm}\times\frac12 =1\\ \mathrm{atm}.
Em seguida, calculamos o volume inicial via a lei dos gases ideais:
V_i = \frac{nRT}{P_i} = \frac{2\cdot 8{,}314\cdot 308{,}15}{2\times101\,325} \approx 2,529\times10^{-2}\\ \mathrm{m^3}.

Passo 5

O trabalho realizado pelo gás contra P_{\rm ext} é
W_{\rm const} = P_{\rm ext}(V_f - V_i) = P_{\rm ext}\,V_i = 1\,\mathrm{atm}\times 2,529\times10^{-2}\,\mathrm m^3 \approx 1,01325\times10^5\\ \mathrm{Pa}\times2,529\times10^{-2}\,\mathrm m^3 \approx 2,56\times10^3\\ \mathrm J.

Resposta

Isotérmica reversível: W_{\rm iso}\approx 3{,}55\times10^3\\ \mathrm J
Contra P_{\rm ext}=P_f: W_{\rm const}\approx 2{,}56\times10^3\\ \mathrm J

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