Dois moles de um gás ideal monoatômico realiza uma expansão de um volume inicial de 5,0 L para um volume final de 15 L . A temperatura inicial do gás é de 6 0 0 K.
Calcule o trabalho realizado pelo gás se a expansão for adiabática.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar.
Enunciado: Temos 2 moles de um gás ideal monoatômico que expande de um volume inicial de 5,0, L para um volume final de 15, L. A temperatura inicial é de 600, K. Queremos calcular o trabalho realizado pelo gás nessa expansão adiabática.
Conteúdo envolvido: Vamos usar a Termodinâmica, especificamente o estudo de processos adiabáticos para gases ideais monoatômicos. Precisaremos das leis dos gases ideais e das equações que descrevem processos adiabáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma expansão adiabática. Nesse tipo de processo, o sistema (neste caso, o gás) não troca calor com o ambiente ( Q = 0). Ou seja, toda a variação de energia é feita apenas por trabalho.

Passo 3

Para gases ideais, sabemos que PV = nRT, onde:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • n é a quantidade de matéria (em moles),
  • R é a constante dos gases ideais ( 8,314, J/(mol·K)),
  • T é a temperatura.
Vamos usar essa equação para encontrar a pressão inicial ( P1) do gás.

Passo 4

Calculando a pressão inicial P1:
P1 = nRT1V1
Substituindo os valores:
P1 = 2, mol times 8,314, J/(mol·K) times 600, K5,0, L
Mas precisamos converter o volume de litros para metros cúbicos para manter as unidades consistentes ( 1, L = 0,001, m^3):
V1 = 5,0, L = 0,005, m^3
Agora, substituindo:
P1 = 2 times 8,314 times 6000,005 = 9976,80,005 = 1.995.360, Pa

Passo 5

Em processos adiabáticos para gases ideais, a pressão e o volume estão relacionados por:
PV^gamma = constante
Onde gamma (gamma) é o índice adiabático. Para um gás monoatômico, gamma = 53.
Vamos usar essa relação para encontrar a pressão final P2.

Passo 6

Aplicando a relação adiabática:
P1 V1^gamma = P2 V2^gamma
Queremos encontrar P2:
P2 = P1 ( V1V2 )^gamma
Substituindo os valores:
P2 = 1.995.360, Pa times ( 5,015)^5/3
Calculando a fração e elevando a potência:
( 515 ) = 13
( 13 )^5/3 approx 0,1304
Então:
P2 = 1.995.360, Pa times 0,1304 approx 260.520, Pa

Passo 7

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pelo gás durante essa expansão adiabática. A fórmula para o trabalho W em um processo adiabático é:
W = P1 V1 - P2 V2gamma - 1
Substituindo os valores que já encontramos:
W = 1.995.360, Pa times 0,005, m^3 - 260.520, Pa times 0,015, m^353 - 1
Calculando cada parte:
1.995.360 times 0,005 = 9.976,8, J
260.520 times 0,015 = 3.907,8, J
gamma - 1 = 53 - 1 = 23
Substituindo de volta:
W = 9.976,8 - 3.907,823 = 6.06923 = 6.069 times 32 = 9.103,5, J

Resposta

O trabalho realizado pelo gás durante a expansão adiabática é de aproximadamente 9.103,5, J.

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