Dois moles de um sistema particular de uma componente são encontrados possuir uma dependência U com a pressão e volume dados por
U=A P V^{2} \quad(\operatorname{para} N=2)
Observe que duplicando o sistema duplica-se o volume, a energia, e número de moles, mas deixa a pressão inalterada. Escreva a dependência completa de U \operatorname{com} P, V, e N para número de moles arbitrário.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informação 1: Para N=2 vale
U = A P V^{2}.
  • Informação 2: Ao duplicar o sistema (isto é, fazer N\to 2N e V\to 2V) a energia U duplica e a pressão P permanece inalterada. Em palavras: ao escalar o tamanho do sistema, V e U escalam linearmente com o tamanho, enquanto P é uma variável intensiva e não muda.
  • Pedido: Encontrar a dependência completa de U em termos de P, V e N para N arbitrário; isto é, achar U(P,V,N) compatível com as informações acima.

Passo 2

Entender a implicação da observação sobre duplicar o sistema (escala): a observação diz que, para qualquer fator de escala \lambda, se substituirmos
V\mapsto \lambda V,\qquad N\mapsto \lambda N,
então a pressão P fica a mesma e a energia interna U escala como
U(P,\lambda V,\lambda N)=\lambda\,U(P,V,N).
Isto significa que, mantendo P fixo, U é homogênea de grau 1 em relação às variáveis extensivas V e N. Vou explicar de forma bem direta: “extensiva” significa que a grandeza dobra quando o sistema dobra; “intensiva” significa que não muda ao duplicar o sistema. Aqui V e N são extensivas, P é intensiva, e U é extensiva.

Passo 3

A partir da propriedade de homogeneidade de grau 1 (mostrada no passo anterior) segue uma forma padrão de escrever U: existe uma função molar (por partícula) que depende de P e do volume específico v=V/N, tal que
U(P,V,N)=N\,u\!\bigl(P,\tfrac{V}{N}\bigr).
Vou justificar essa igualdade de forma elementar: escolha \lambda=1/N na igualdade de homogeneidade:
U(P,V,N)=U\!\bigl(P,N\cdot\tfrac{V}{N},N\cdot 1\bigr)=N\,U\!\bigl(P,\tfrac{V}{N},1\bigr).
Definindo u(P,v)=U(P,v,1) com v=V/N, obtemos a forma desejada U=N\,u(P,V/N). Essa é uma forma muito útil: reduz o problema a achar a função molar u(P,v).

Passo 4

Usar a condição conhecida para N=2 para determinar u(P,v).
Para N=2 a expressão geral dá
U(P,V,2)=2\,u\!\bigl(P,\tfrac{V}{2}\bigr).
Mas o enunciado diz que, para N=2,
U(P,V,2)=A P V^{2}.
Igualando as duas expressões:
2\,u\!\bigl(P,\tfrac{V}{2}\bigr)=A P V^{2}.
Assim
u\!\bigl(P,\tfrac{V}{2}\bigr)=\frac{A}{2}\,P V^{2}.
Agora mude de variável para escrever u em termos do volume específico v. Defina v=\tfrac{V}{2}. Então V=2v. Substituindo:
u(P,v)=\frac{A}{2}\,P\,(2v)^{2}.
Calcule passo a passo:
(2v)^{2}=4v^{2},
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u(P,v)=\frac{A}{2}\,P\cdot 4v^{2}=2A\,P\,v^{2}.

Passo 5

Voltar à forma geral U=N\,u(P,V/N) e substituir a expressão obtida para u.
Temos
u\!\bigl(P,\tfrac{V}{N}\bigr)=2A\,P\!\left(\tfrac{V}{N}\right)^{2}.
Multiplicando por N,
U(P,V,N)=N\cdot 2A\,P\!\left(\tfrac{V}{N}\right)^{2}.
Fazer a álgebra detalhada:
\left(\tfrac{V}{N}\right)^{2}=\frac{V^{2}}{N^{2}},
então
U(P,V,N)=N\cdot 2A\,P\cdot\frac{V^{2}}{N^{2}}=2A\,P\,\frac{V^{2}}{N}.
Portanto a dependência geral é
U(P,V,N)=\frac{2A\,P\,V^{2}}{N}.

Passo 6

Verificações rápidas para garantir consistência (faça na prova também para checar):
  1. Para N=2,
U(P,V,2)=\frac{2A\,P\,V^{2}}{2}=A P V^{2},
recuperando exatamente a condição dada.
  1. Se duplicarmos o sistema: N\mapsto 2N e V\mapsto 2V com P inalterado, então
U(P,2V,2N)=\frac{2A\,P\,(2V)^{2}}{2N}=\frac{2A\,P\cdot 4V^{2}}{2N}=\frac{8A\,P\,V^{2}}{2N}=\;2\cdot\frac{2A\,P\,V^{2}}{N}=2U(P,V,N),
ou seja, a energia dobra, como requerido.

Resposta

U(P,V,N)=\frac{2A\,P\,V^{2}}{N}

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