Dois moles de um sistema particular de uma componente são encontrados possuir uma dependência
com a pressão e volume dados por
Observe que duplicando o sistema duplica-se o volume, a energia, e número de moles, mas deixa a pressão inalterada. Escreva a dependência completa de
, e
para número de moles arbitrário.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informação 1: Para
vale
- Informação 2: Ao duplicar o sistema (isto é, fazer
e ) a energia duplica e a pressão permanece inalterada. Em palavras: ao escalar o tamanho do sistema, e escalam linearmente com o tamanho, enquanto é uma variável intensiva e não muda. - Pedido: Encontrar a dependência completa de
em termos de , e para arbitrário; isto é, achar compatível com as informações acima.
Passo 2
Entender a implicação da observação sobre duplicar o sistema (escala): a observação diz que, para qualquer fator de escala
, se substituirmos
então a pressão
fica a mesma e a energia interna
escala como
Isto significa que, mantendo
fixo,
é homogênea de grau
em relação às variáveis extensivas
e
. Vou explicar de forma bem direta: “extensiva” significa que a grandeza dobra quando o sistema dobra; “intensiva” significa que não muda ao duplicar o sistema. Aqui
e
são extensivas,
é intensiva, e
é extensiva.
Passo 3
A partir da propriedade de homogeneidade de grau
(mostrada no passo anterior) segue uma forma padrão de escrever
: existe uma função molar (por partícula) que depende de
e do volume específico
, tal que
Vou justificar essa igualdade de forma elementar: escolha
na igualdade de homogeneidade:
Definindo
com
, obtemos a forma desejada
. Essa é uma forma muito útil: reduz o problema a achar a função molar
.
Passo 4
Usar a condição conhecida para
para determinar
.
Para
a expressão geral dá
Mas o enunciado diz que, para
,
Igualando as duas expressões:
Assim
Agora mude de variável para escrever
em termos do volume específico
. Defina
. Então
. Substituindo:
Calcule passo a passo:
logo
Passo 5
Voltar à forma geral
e substituir a expressão obtida para
.
Temos
Multiplicando por
,
Fazer a álgebra detalhada:
então
Portanto a dependência geral é
Passo 6
Verificações rápidas para garantir consistência (faça na prova também para checar):
- Para
,
recuperando exatamente a condição dada.
- Se duplicarmos o sistema:
e com inalterado, então
ou seja, a energia dobra, como requerido.