A energia de um sistema particular, de um mol, é dado por
U=A P^{2} V
onde A é uma constante positiva de dimensões [\mathrm{P}]^{-1}. Determine a equação das adiabáticas no plano P-V.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
  • A energia interna de um mol do sistema é dada por U = A P^{2} V,
onde A é constante positiva com dimensões [\mathrm{P}]^{-1}.
  • Pedem: determinar a equação das adiabáticas no plano P\!-\!V (ou seja, achar a relação entre P e V que descreve processos adiabáticos do sistema).

Passo 2

Vamos usar a lei primeira da termodinâmica e a definição de processo adiabático. Explico com calma:
  • A primeira lei da termodinâmica, para um sistema fechado à pressão P que realiza trabalho apenas P\,dV, é
dU = \delta Q - P\,dV.
Aqui dU é a variação infinitesimal da energia interna, \delta Q é o calor trocado e P\,dV é o trabalho de expansão (sinal conforme a convenção usual).
  • Em um processo adiabático, não há troca de calor, então \delta Q=0. Logo a condição adiabática reduz-se a
dU = -P\,dV.
Explico: isso diz que toda variação de energia interna vem do trabalho realizado pelo sistema (ou sobre ele), sem calor trocado.

Passo 3

Agora vamos calcular dU explicitamente a partir da expressão dada. Como U depende de P e V, seu diferencial total é
dU = \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{V} dP + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{P} dV.
Calcule as derivadas parciais da função U(P,V)=A P^{2} V:
  • Derivando em relação a P com V fixo:
\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{V} = 2 A P V.
  • Derivando em relação a V com P fixo:
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{P} = A P^{2}.
Portanto o diferencial é
dU = 2 A P V\, dP + A P^{2}\, dV.

Passo 4

Impondo a condição adiabática dU = -P\,dV e substituindo dU obtido:
2 A P V\, dP + A P^{2}\, dV = -P\,dV.
Agora reorganizamos os termos. Somando P\,dV aos dois lados:
2 A P V\, dP + A P^{2}\, dV + P\,dV = 0.
Fatorando dV nos termos que o contêm e P quando possível:
2 A P V\, dP + \bigl(A P^{2} + P\bigr)\, dV = 0.
Como P pode ser tratado como não-nulo nos processos de interesse, dividimos toda a equação por P para simplificar (se P=0 seria caso trivial/limite):
2 A V\, dP + (A P + 1)\, dV = 0.

Passo 5

Colocamos a equação em forma separável para integrar. Isolando dV/V:
(A P + 1)\, dV + 2 A V\, dP = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dV}{V} = -\frac{2 A}{A P + 1}\, dP.
Agora integramos ambos os lados. Integração do lado esquerdo:
\int \frac{dV}{V} = \ln V + C_1.
No lado direito usamos a substituição u = A P + 1 (então du = A\,dP), assim
\int -\frac{2 A}{A P + 1}\, dP = -2 \int \frac{A\,dP}{A P + 1} = -2 \int \frac{du}{u} = -2 \ln(A P + 1) + C_2.
Igualando as primitivas (absorvendo constantes num único C):
\ln V = -2 \ln(A P + 1) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Transformando a expressão logarítmica em forma não-logaritmica:
\ln V + 2 \ln(A P + 1) = C \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\bigl(V (A P + 1)^{2}\bigr) = C.
Exponenciando ambos os lados obtemos a família de curvas (as adiabáticas):
V (A P + 1)^{2} = \text{const}.
Ou, escrevendo a constante de integração como C',
(A P + 1)^{2} V = C'.
Essa é a equação das adiabáticas no plano P\!-\!V para o sistema dado. Cada valor de C' determina uma curva adiabática diferente.

Resposta

(A P + 1)^{2} V = \text{const}

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