A energia de um sistema particular, de um mol, é dado por
onde
é uma constante positiva de dimensões
. Determine a equação das adiabáticas no plano
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
- A energia interna de um mol do sistema é dada por
onde
é constante positiva com dimensões
.
- Pedem: determinar a equação das adiabáticas no plano
(ou seja, achar a relação entre e que descreve processos adiabáticos do sistema).
Passo 2
Vamos usar a lei primeira da termodinâmica e a definição de processo adiabático. Explico com calma:
- A primeira lei da termodinâmica, para um sistema fechado à pressão
que realiza trabalho apenas , é
Aqui
é a variação infinitesimal da energia interna,
é o calor trocado e
é o trabalho de expansão (sinal conforme a convenção usual).
- Em um processo adiabático, não há troca de calor, então
. Logo a condição adiabática reduz-se a
Explico: isso diz que toda variação de energia interna vem do trabalho realizado pelo sistema (ou sobre ele), sem calor trocado.
Passo 3
Agora vamos calcular
explicitamente a partir da expressão dada. Como
depende de
e
, seu diferencial total é
Calcule as derivadas parciais da função
:
- Derivando em relação a
com fixo:
- Derivando em relação a
com fixo:
Portanto o diferencial é
Passo 4
Impondo a condição adiabática
e substituindo
obtido:
Agora reorganizamos os termos. Somando
aos dois lados:
Fatorando
nos termos que o contêm e
quando possível:
Como
pode ser tratado como não-nulo nos processos de interesse, dividimos toda a equação por
para simplificar (se
seria caso trivial/limite):
Passo 5
Colocamos a equação em forma separável para integrar. Isolando
:
Agora integramos ambos os lados. Integração do lado esquerdo:
No lado direito usamos a substituição
(então
), assim
Igualando as primitivas (absorvendo constantes num único
):
onde
é constante de integração.
Passo 6
Transformando a expressão logarítmica em forma não-logaritmica:
Exponenciando ambos os lados obtemos a família de curvas (as adiabáticas):
Ou, escrevendo a constante de integração como
,
Essa é a equação das adiabáticas no plano
para o sistema dado. Cada valor de
determina uma curva adiabática diferente.