Considere a equação de Legendre:
definida para
. Resolva a equação em um dos pontos singulares regulares usando o método de Frobenius e encontre duas soluções linearmente independentes. Em seguida:
(a) O que ocorre nos pontos singulares regulares se
não for um número inteiro?
(b) Quais são as condições sobre
para garantir que as soluções sejam finitas em
?
(a) O que ocorre nos pontos singulares regulares se
(b) Quais são as condições sobre
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Legendre
definida em
. As tarefas são:
- Resolver a equação em um dos pontos singulares regulares usando o método de Frobenius e encontrar duas soluções linearmente independentes (ou seja, obter a forma das duas soluções locais).
- (a) Dizer o que ocorre nos pontos singulares regulares se
não for um número inteiro. - (b) Indicar as condições sobre
para garantir que as soluções sejam finitas em .
Informações relevantes dadas pelo enunciado e que vamos usar:
- Os pontos
são candidatos a pontos singulares (porque o coeficiente de é que se anula em ). - Vamos aplicar o método de Frobenius em um desses pontos singulares regulares (escolherei
por simetria; o outro ponto é análogo). - Queremos duas soluções linearmente independentes locais e entender seu comportamento em função de
.
Passo 2
Escolha da expansão e mudança de variável. Para estudar a vizinhança de
é conveniente usar a variável pequena
assim
corresponde a
. Em termos de
as derivadas mudam por
. Vou reescrever a equação em
e depois aplicar a ansatz de Frobenius
que busca soluções na forma de série em potências de
multiplicada por
.
Passo 3
Reescrevendo a equação em
. Começando com as expressões:
Como
e
, a equação transforma-se em
Esta é a forma que vamos usar para inserir a série de Frobenius.
Passo 4
Derivadas da ansatz de Frobenius. Com
temos (derivando termo a termo)
Passo 5
Substituição na equação e identificação do termo de menor ordem (indicial). Substituindo as séries em
obtemos, após agrupar as potências
e
, a soma
O menor expoente é
e surge apenas do primeiro somatório com
. Coeficiente desse termo é
Como
pela construção de Frobenius, obtemos a equação indicial
Comentário didático: a equação indicial dá os expoentes possíveis
da solução tipo
. Aqui obtemos
duplo, o que tipicamente indica que existe uma solução regular (uma série em potências inteiras) e a segunda solução geralmente envolve um termo com
(logaritmo) multiplicando a solução regular.
Passo 6
Recorrência para os coeficientes da série (primeira solução). Igualando coeficientes da potência
para
obtemos a relação
Assim a recorrência é
Isto determina todos os
a partir de
.
Passo 7
Construção explícita da primeira solução
. Tomando
(normalização conveniente) obtemos a solução analítica em
(isto é, em
):
com
dados pela recorrência acima. Exemplificando os primeiros coeficientes:
Observações didáticas:
- A série converge (na vizinhança de
), portanto é uma função analítica em e tem valor finito ali; podemos normalizar para . - Para valores particulares de
a série pode truncar (veja passo seguinte).
Passo 8
Segunda solução
quando a raiz indicial é dupla. Com raiz dupla
a teoria de Frobenius diz que a segunda solução independente tem geralmente a forma
onde os
podem ser obtidos (em princípio) a partir de um procedimento de substituição e solução da recorrência não homogênea. O ponto importante, e a conclusão prática, é:
- A segunda solução contém um termo
(pois ), ou seja tem singularidade logarítmica em . - Assim, localmente em
, as duas soluções linearmente independentes são (analítica) e (que envolve e, portanto, é singular em ).
Comentário didático: o surgimento do
é padrão quando as raízes da equação indicial são iguais ou diferem por inteiro; aqui surgem como raiz dupla, logo o
aparece. Essa segunda solução corresponde, na teoria clássica, à função de Legendre do segundo tipo
(que tem comportamento logarítmico em
).
Passo 9
Caso especial quando
é inteiro e consequência sobre a finitude das soluções. Observando a recorrência
nota-se que se
é inteiro não negativo (
) então o fator
anula o numerador quando
. Isso implica que
, e então todos os coeficientes posteriores também são zero: a série truncará num polinômio de grau
. Conclusões:
- Para
a solução torna-se um polinômio de grau . Esses são exatamente os polinômios de Legendre . Eles são finitos e regulares em todo o intervalo . - A segunda solução
continua a envolver um termo logarítmico e, portanto, é singular (não finita) em .
Se
não é inteiro, a série para
não truncará (será uma série infinita regular em
) e
terá o termo logarítmico; portanto não há duas soluções locais ambas finitas sem singularidade na fronteira.
Passo 10
Resposta direta às perguntas pedidas (resumo final e interpretação física/prática para a prova):
- A expansão de Frobenius em
dá uma solução analítica com e a recorrência
e a segunda solução local é da forma
série. Portanto as duas soluções locais são linearmente independentes: uma regular em
e outra com singularidade logarítmica em
.
- Para
a análise é análoga (usar ) e dá o mesmo tipo de comportamento: uma solução regular local e outra com .
Resposta
(a) Se
não é inteiro, em cada ponto singular regular
existe uma solução analítica (regular) e uma segunda solução que envolve um termo logarítmico
; portanto as duas soluções são linearmente independentes, mas uma delas tem singularidade logarítmica em
.
(b) Para que as soluções sejam finitas em todo o intervalo
é necessário que
seja um inteiro não negativo (
). Nesses casos a solução regular
se torna o polinômio de Legendre
(grau
), finito em
; a outra solução continua a ser singular.