Dois mols de um gás diatônico inicialmente a 300 K realiza o seguinte ciclo: o gás é (1) aquecido a volume constante até 800 K , (2) liberado para se expandir isotermicamente até a pressão inicial, (3) contraído a pressão constante para Optado inicial. Supondo que as moléculas do gás nem giram nem oscilam, determine (a) a energia liquida transferida para o gás em forma de calor, (b) o trabalho liquicho realizađo pelo gás e (c) a eficiência do ciclo.
Resposta:
(a) 25,5 \mathrm{~kJ}
(b) 4,73 \mathrm{~kJ}
(c) 18,5 \%
p V=n R T
\begin{aligned} & Q_{V}=n C_{V} \Delta T \leftarrow \\\ & \Delta E_{\text {int }}=Q-W \Rightarrow Q=W \\\ & Q_{P}=n C_{P} \Delta T \leftharpoonup \end{aligned}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos n=2 mol de um gás “diatômico” que não gira nem vibra, logo só tem 3 graus de liberdade (como se fosse monoatômico). O ciclo é:
  1. Aquecimento isocórico de T_1=300,K até T_2=800,K.
  2. Expansão isotérmica a T=800,K retomando a pressão inicial P_1.
  3. Compressão isobárica a P_1 até voltar a T_1.
    Precisamos de C_V, C_P e usar a equação de estado pV=nRT.

Passo 2

Como só há 3 graus de liberdade translacionais:
C_V = \frac{3}{2}R, \quad C_P = C_V + R = \frac{5}{2}R, \quad R = 8{,}314\;\mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Passo 3

Etapa 1 (isocórica):
Q_1 = n\,C_V\,(T_2-T_1) =2\cdot\frac{3}{2}R\,(800-300) =2\cdot1{,}5\cdot8{,}314\cdot500 \approx12\,471\;\mathrm{J}.

Passo 4

Etapa 2 (isotérmica a T=800,K):
A razão de volumes vem de P_2/P_1=T_2/T_1, e
\frac{V_3}{V_1}=\frac{P_2}{P_1}=\frac{800}{300}\approx2{,}667.
O trabalho vale
W_2 = nR\,T\;\ln\!\bigl(V_3/V_1\bigr) =2\cdot8{,}314\cdot800\cdot\ln(2{,}667) \approx13\,052\;\mathrm{J},
e como é isotérmico, Q_2=W_2\approx13\,052,J.

Passo 5

O calor total absorvido (positivo) é
Q_{\rm in}=Q_1+Q_2 \approx12\,471+13\,052 \approx25\,523\;\mathrm{J}\approx25{,}5\;\mathrm{kJ}.

Passo 6

Para achar o trabalho líquido usamos \Delta U_{\rm ciclo}=0, assim
W_{\rm net}=Q_{\rm net} =Q_1+Q_2+Q_3 \quad\Longrightarrow\quad W_{\rm net}=Q_1+Q_2 - Q_{\rm in\\ negativo}.
Ou diretamente
W_3 =-P_1\,(V_3-V_1) =-nR\,T_1\bigl(\tfrac{V_3}{V_1}-1\bigr) =-2\cdot8{,}314\cdot300\cdot(2{,}667-1) \approx-8\,314\;\mathrm{J}.
Logo
W_{\rm net}=W_2+W_3 \approx13\,052 - 8\,314 \approx4\,738\;\mathrm{J}\approx4{,}73\;\mathrm{kJ}.

Passo 7

A eficiência é
\eta = \frac{W_{\rm net}}{Q_{\rm in}} =\frac{4\,738}{25\,523} \approx0{,}1856 \approx18{,}5\%.

Resposta

(a) 25{,}5\;\mathrm{kJ}
(b) 4{,}73\;\mathrm{kJ}
(c) 18{,}5\%

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