Considere um fio retilíneo e extremamente longo (fio infinito, como se costuma dizer) uniformemente carregado com densidade linear de carga \lambda e um ponto P a uma distância s do fio. Escolha os eixo cartesianos de modo que o fio esteja ao longo do eixo \mathcal{O} \mathcal{Z}.
(a) Qual (is) componente(s) E_{s}, E_{\varphi} e/ou E_{z} do campo elétrico gerado pelo são nulas em todo e qualquer ponto do espaço? Explique.
(b) As componentes não-nulas do campo elétrico gerado pelo fio pode(m) depender de quais coordenadas (s, \varphi ou z) ?
(c) Utilizando os resultados dos itens anteriores, escolha uma superfície gaussiana adequada para a obtenção do campo elétrico produzido pelo fio via lei de Gauss. Justifique sua escolha.
(d) Aplique apropriadamente a lei de Gauss para obter o campo eletrostático criado pelo fio em P.
(e) Compare o resultado do item anterior com a sua resposta ao item 9 (d) da Lista de estudos 1.

Passo 1

O enunciado trata do campo elétrico \mathbf{E} produzido por um fio infinitamente longo, carregado com densidade linear de carga \lambda, e de um ponto P situado a uma distância s do fio. Escolhemos coordenadas cilíndricas (s,\varphi,z) com o fio ao longo do eixo z. Para resolver usaremos simetria do problema e a lei de Gauss.

Passo 2

(a) Por simetria de rotação em torno do eixo z e simetria de translação ao longo de z, o campo não pode ter componente azimutal nem componente longitudinal. Logo
E_{\varphi}=0, \qquad E_{z}=0,
e a única possível é a componente radial E_{s}.
(b) Como o problema é invariante por rotação em \varphi e por translação em z, a componente não nula E_{s} não pode depender de \varphi nem de z. Portanto
E_{s}=E_{s}(s).

Passo 3

(c) Para aplicar a lei de Gauss escolhemos uma superfície cilíndrica coaxial de raio s e comprimento L. Nessa superfície o vetor campo é ortogonal apenas à face lateral, com módulo constante nesse lado, e o fluxo pelas tampas é zero pois \mathbf{E} é paralelo a elas. Essa escolha explora diretamente a simetria cilíndrica.

Passo 4

(d) A lei de Gauss diz
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_{0}}.
O único fluxo não-nulo vem da face lateral:
\Phi =E_{s}(s)\times(\text{área lateral}) =E_{s}(s)\,(2\pi sL).á
A carga interna é
Q_{\mathrm{int}}=\lambda L.
Logo
E_{s}(s)\,2\pi sL =\frac{\lambda L}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E_{s}(s) =\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,s}.
Portanto o campo em P é
\mathbf{E}(P) =\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,s}\,\hat{\mathbf{s}}.

Resposta

(a) E_{\varphi}=0 e E_{z}=0.
(b) A única componente não-nula é E_{s}, que depende somente de s.
(c) Cilindro coaxial de raio s e comprimento L, pois alinha-se à simetria do problema e torna o fluxo trivial.
(d)
\mathbf{E}(P) =\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,s}\,\hat{\mathbf{s}}.
(e) Esse resultado coincide com o obtido no item 9(d) da Lista de estudos 1.

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