Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade M=25 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} são aplicados à viga A B constituída de um perfil U. Observando que fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine a tensão no
ponto E

Passo 1

O enunciado pede a tensão no ponto E da seção em U quando a viga sofre um momento fletor de intensidade M=25\\ \mathrm{kN\cdot m} que faz a viga flexionar no plano horizontal.
Dados extraídos da imagem:
  • Altura total da alma (entre as extremidades externas das abas): 180\\ \mathrm{mm}.
  • Largura (projeção horizontal) de cada aba: 120\\ \mathrm{mm}.
  • Espessura de cada aba (altura da aba verticalmente): 30\\ \mathrm{mm} (superior e inferior).
  • Largura horizontal do corpo vertical (alma): 36\\ \mathrm{mm}.
  • Momento fletor: M=25\\ \mathrm{kN\cdot m}.
O enunciado pede, portanto, calcular a tensão de flexão \sigma no ponto E da seção dada essas dimensões.

Passo 2

Plano de solução (sem cálculos ainda):
  • Usar a fórmula da flexão pura para tensão normal em um ponto da seção:
\sigma = -\dfrac{M\,x}{I},
onde:
  • M é o momento fletor aplicado (em \mathrm{N\cdot mm}),
  • x é a distância horizontal do eixo neutro (centroide da seção) até o ponto considerado (positiva para a direita),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro vertical (ou seja, o momento de inércia em torno do eixo que passa pelo centroide e é paralelo à direção do momento).
  • Para aplicar essa fórmula precisamos de:
    1. Localizar o centroide horizontal da seção ( \bar{x}).
    2. Calcular I da seção em relação ao eixo vertical que passa por \bar{x}.
    3. Obter a coordenada horizontal de E (a partir da face esquerda da alma) e determinar x = x_E - \bar{x}.
    4. Substituir M, x e I na fórmula para obter \sigma.
Vou modelar a seção como três retângulos (alma + duas abas). Cada retângulo tem:
  • alma: largura b_w=36\\ \mathrm{mm}, altura h_w=180\\ \mathrm{mm}.
  • cada aba: largura (horizontal) b_f=120\\ \mathrm{mm}, altura (espessura) h_f=30\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

Cálculo das áreas e posições centrais (referidas à face esquerda da alma, x=0 na face esquerda da alma):
Áreas:
A_w = b_w h_w = 36 \cdot 180 = 6480\\ \mathrm{mm^2}.
A_f = b_f h_f = 120 \cdot 30 = 3600\\ \mathrm{mm^2}\quad(\text{cada aba}).
Coordenadas x dos centróides de cada peça (medidas a partir da face esquerda da alma):
x_w = \frac{b_w}{2} = \frac{36}{2} = 18\\ \mathrm{mm}.
A aba está à direita da alma; a sua coordenada do centróide é:
x_f = b_w + \frac{b_f}{2} = 36 + \frac{120}{2} = 36 + 60 = 96\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Cálculo da posição do centroide da seção composta \bar{x}:
\bar{x} = \frac{A_w x_w + 2A_f x_f}{A_w + 2A_f}.
Substituindo os valores:
\bar{x} = \frac{6480\cdot 18 + 2\cdot 3600\cdot 96}{6480 + 2\cdot 3600} = \frac{116640 + 691200}{13680} = \frac{807840}{13680} = 59{,}0526316\\ \mathrm{mm}.
Portanto o eixo neutro vertical passa por \bar{x}\approx 59{,}05\\ \mathrm{mm} a partir da face esquerda da alma.

Passo 5

Cálculo do momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro vertical ( I). Para um retângulo com largura (na direção x) b e altura (na direção vertical) h, o momento de inércia em torno do eixo vertical que passa pelo centróide do retângulo é
I_{\text{cent}}=\frac{b^{3}h}{12}.
Momentos de inércia centrais:
I_{w,\text{cent}}=\frac{b_w^{3}h_w}{12}=\frac{36^{3}\cdot 180}{12}=699\,840\\ \mathrm{mm^4}.
I_{f,\text{cent}}=\frac{b_f^{3}h_f}{12}=\frac{120^{3}\cdot 30}{12}=4\,320\,000\\ \mathrm{mm^4}\quad(\text{cada aba}).
Aplicando o teorema dos eixos paralelos (cada peça deslocada do centroide da seção composta por d_i = x_i - \bar{x}):
I = I_{w,\text{cent}} + A_w d_w^{2} + 2\left(I_{f,\text{cent}} + A_f d_f^{2}\right),
onde
d_w = x_w - \bar{x} = 18 - 59{,}0526316 = -41{,}0526316\\ \mathrm{mm},
d_f = x_f - \bar{x} = 96 - 59{,}0526316 = 36{,}9473684\\ \mathrm{mm}.
Agora os termos numéricos:
A_w d_w^{2} = 6480 \cdot (41{,}0526316)^{2} \approx 10\,920\,873{,}6\\ \mathrm{mm^4},
A_f d_f^{2} = 3600 \cdot (36{,}9473684)^{2} \approx 4\,914\,180\\ \mathrm{mm^4}.
Somando:
I \approx 699\,840 + 10\,920\,873{,}6 + 2\left(4\,320\,000 + 4\,914\,180\right).
I \approx 699\,840 + 10\,920\,873{,}6 + 2\cdot 9\,234\,180 = 699\,840 + 10\,920\,873{,}6 + 18\,468\,360
I \approx 30\,089\,073{,}6\\ \mathrm{mm^4}.
Arredondando: I \approx 3{,}0089\times 10^{7}\\ \mathrm{mm^4}.

Passo 6

Coordenada horizontal do ponto E. Observando a figura, o ponto E está na face interna da alma (lado direito da alma), ou seja:
x_E = b_w = 36\\ \mathrm{mm}.
Distância do eixo neutro até E:
x = x_E - \bar{x} = 36 - 59{,}0526316 = -23{,}0526316\\ \mathrm{mm}.
Converter o momento M para \mathrm{N\cdot mm}:
M = 25\\ \mathrm{kN\cdot m} = 25{,}000\\ \mathrm{N\cdot m} = 25{,}000\times 1000\\ \mathrm{N\cdot mm} = 25{,}000{,}000\\ \mathrm{N\cdot mm}.
Aplicar a fórmula da flexão:
\sigma_E = -\dfrac{M\,x}{I} = -\dfrac{25{,}000{,}000 \cdot (-23{,}0526316)}{30\,089\,073{,}6}\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
Calculando:
\sigma_E \approx \dfrac{25{,}000{,}000 \cdot 23{,}0526316}{30\,089\,073{,}6} \approx 19{,}15\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
Convertendo unidade: 1\\ \mathrm{N/mm^{2}} = 1\\ \mathrm{MPa}, portanto
\sigma_E \approx 19{,}15\\ \mathrm{MPa}.
(O sinal positivo na expressão numérica acima significa que, usando a convenção \sigma=-M x /I com x=x_E-\bar{x}, o ponto E fica em tração para o sentido de M escolhido; o importante geralmente pedido é o valor da tensão, \approx 19{,}2\\ \mathrm{MPa}.)

Resposta

\sigma_{E}\approx 19{,}2\\ \mathrm{MPa}

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