Um momento fletor de 22,6 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} é aplicado a uma viga W200 \times 46,1 de aço laminado. Use E=200 \mathrm{GPa}.
Resolva a parte a levando em conta que o momento fletor seja aplicado em torno do eixo y.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede (peguei o valor da imagem quando aplicável):
  • Foi dado o momento fletor aplicado: M=22{,}6\\ \mathrm{kN\cdot m}.
  • Foi dado o módulo de elasticidade do aço: E=200\\ \mathrm{GPa}.
  • A seção da viga é uma W200 \times 46,1 (nome comercial da seção).
  • O enunciado especifica que o momento é aplicado em torno do eixo y (isto é, momento M_y).
  • A imagem fornecida contém uma distância/ folga de 0{,}457\\ \mathrm{mm} (valor extraído da imagem).
  • O enunciado pede a parte (a) considerando o momento em torno do eixo y.
Pergunta explícita a resolver nesta parte (a):
  • Calcular a(s) grandeza(s) solicitada(s) pela parte (a) quando o momento é aplicado em torno do eixo y. (Se a parte (a) pede tensão máxima por flexão, curvatura, rotação ou flecha, a metodologia abaixo cobre como obter cada uma dessas quantidades para um momento M_y.)
Observação importante: para obter valores numéricos finais (por exemplo tensão máxima em MPa ou curvatura numérica) é necessário conhecer as propriedades geométricas da seção W200 \times46,1 — em particular o momento de inércia em torno do eixo y, I_y, e a distância do centroide até a fibra mais afastada na direção relevante, c (para obter o módulo resistente S_y = I_y/c). Estas propriedades normalmente vêm em tabelas/ catálogos de perfis (manuais de aço). Sem esses valores tabulados não é possível dar um número final; abaixo eu mostro passo a passo como proceder e a fórmula final a usar, e também um exemplo ilustrativo usando valores fictícios (marcados como tal) para que fique claro como aplicar no exame.

Passo 2

Principais fórmulas de flexão e o que cada variável significa (aulas rápidas):
  • Tensão máxima por flexão simples (quando a seção é bi-simétrica ou temos flexão pura) é dada por:
\sigma_{\max}=\frac{M_y}{S_y}.
Aqui:
  • \sigma_{\max} é a tensão normal máxima na fibra mais solicitada (unidade: \mathrm{N/mm^2} ou \mathrm{MPa}).
  • M_y é o momento fletor em torno do eixo y (unidade coerente com S_y, por exemplo \mathrm{N\cdot mm}).
  • S_y é o módulo resistente em torno do eixo y (unidade: \mathrm{mm^3}), definido por
S_y=\frac{I_y}{c},
onde I_y é o segundo momento de área em torno do eixo y (unidade: \mathrm{mm^4}) e c é a distância do centroide à fibra mais afastada na direção que interessa (unidade: \mathrm{mm}).
  • Curvatura da viga (para flexão linear elástica):
\kappa=\frac{1}{\rho}=\frac{M_y}{E I_y}.
Aqui:
  • \kappa é a curvatura (1/mm),
  • \rho é o raio de curvatura (mm),
  • E é o módulo de elasticidade (unidade: \mathrm{N/mm^2} se for coerente com M e I).
  • Deformação máxima na fibra mais distante (tensão/ módulo elástico):
\varepsilon_{\max}=c\kappa = \frac{c M_y}{E I_y}.
  • Relação tensão-deformação elástica (Lei de Hooke):
\sigma_{\max}=E\,\varepsilon_{\max} = \frac{E c M_y}{E I_y} = \frac{M_y}{I_y}\,c,
o que é algebraicamente equivalente a \sigma_{\max}=M_y/S_y.
Explicação curta e intuitiva: o momento faz a seção girar/curvar; a curvatura depende do quão rígida é a seção ( E I_y). A tensão máxima depende do momento e do “braço” geométrico dado por S_y.

Passo 3

Unidades e conversões práticas (muito importante para fazer na prova sem errar):
  • Converta M para unidades compatíveis com I_y e S_y. Se I_y e S_y estiverem em \mathrm{mm^4} e \mathrm{mm^3} tipicamente usa-se M em \mathrm{N\cdot mm}.
  • Exemplo de conversão: 1\\ \mathrm{kN\cdot m}=10^6\\ \mathrm{N\cdot mm}. Portanto
M=22{,}6\\ \mathrm{kN\cdot m}=22{,}6\times 10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm}.
  • Para E: E=200\\ \mathrm{GPa}=200\times10^{3}\\ \mathrm{N/mm^2}=200000\\ \mathrm{N/mm^2}. (Isso é útil se calcular curvatura numérica.)

Passo 4

Como obter I_y, c e S_y para a seção W200 \times46,1:
  • Essas propriedades NÃO estão no enunciado; elas vêm de catálogos de perfis de aço (manuais AISC, catálogos do fabricante, etc.). Procure na tabela da seção W200 \times46,1 os valores:
    • I_y (momento de inércia em torno do eixo menor y), em \mathrm{mm^4},
    • c (distância do centroide até a fibra mais extrema perpendicular ao eixo y, em \mathrm{mm}),
    • opcionalmente já vem o módulo resistente S_y direto (em \mathrm{mm^3}); muitos catálogos fornecem S_y já calculado.
  • Quando tiver I_y e c, calcule
S_y=\frac{I_y}{c}.

Passo 5

Cálculo prático da tensão máxima — fórmula final que você deve aplicar na prova:
  • Primeiro converta o momento para \mathrm{N\cdot mm}:
M_y=22{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm}.
  • Calcule \sigma_{\max} pela fórmula
\sigma_{\max}=\frac{M_y}{S_y}=\frac{M_y\,c}{I_y}.
  • As unidades resultantes são \mathrm{N/mm^2}, isto é, \mathrm{MPa}. Compare \sigma_{\max} com a resistência admissível do aço (limite de escoamento/ fator de segurança), se for o objetivo.

Passo 6

Cálculo prático da curvatura (se for pedido) e da deformação máxima:
  • Curvatura:
\kappa=\frac{M_y}{E I_y}.
  • Deformação máxima na fibra:
\varepsilon_{\max}=\frac{c M_y}{E I_y}.
  • Se desejar uma rotação entre dois pontos separados por um comprimento L sob flexão constante (caso aplicável), a variação de inclinação é aproximadamente \theta=\kappa L (para flexão pura ou se a curvatura for praticamente constante no trecho).

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para mostrar como aplicar; OS NÚMEROS SÃO ILUSTRATIVOS — NÃO SÃO PROPRIEDADES reais da W200×46,1):
  • Suponha que a tabela desse I_y=1{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{mm^4} e c=100\\ \mathrm{mm} (repetindo: estes valores são fictícios só para mostrar o procedimento).
  • Então S_y=\dfrac{I_y}{c}=\dfrac{1{,}0\times10^{8}}{100}=1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{mm^3}.
  • Convertendo M:
M_y=22{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm}.
  • Tensão máxima:
\sigma_{\max}=\frac{M_y}{S_y}=\frac{22{,}6\times10^{6}}{1{,}0\times10^{6}}=22{,}6\\ \mathrm{N/mm^2}=22{,}6\\ \mathrm{MPa}.
  • Curvatura:
\kappa=\frac{M_y}{E I_y}=\frac{22{,}6\times10^{6}}{200000\times 1{,}0\times10^{8}}=1{,}13\times10^{-9}\\ \mathrm{mm^{-1}}.
  • Deformação máxima:
\varepsilon_{\max}=c\kappa=100\times 1{,}13\times10^{-9}=1{,}13\times10^{-7}.
Novamente: isto é só um exemplo para mostrar a sequência de cálculos; substitua I_y e c pelos valores reais da tabela para obter o resultado correto.

Passo 8

Resumo do procedimento rápido para usar na prova (checklist):
  1. Converter M para \mathrm{N\cdot mm}: M=22{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm}.
  2. Consultar tabela do perfil W200 \times46,1 e pegar I_y (em \mathrm{mm^4}) e c (em \mathrm{mm}) OU pegar S_y direto (em \mathrm{mm^3}).
  3. Calcular \sigma_{\max}=M_y/S_y. Unidade final: \mathrm{MPa}.
  4. Se pedirem curvatura: \kappa=M_y/(E I_y). Se pedirem deformação máxima: \varepsilon_{\max}=c M_y/(E I_y).

Resposta

Não é possível determinar numericamente a(s) grandeza(s) pedida(s) sem as propriedades da seção W200 \times46,1 (em particular I_y e/ou S_y e c) fornecidas por tabela; a expressão a aplicar é
\sigma_{\max}=\frac{M_y}{S_y}=\frac{M_y\,c}{I_y},
com M_y=22{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm}. Para curvatura use \kappa=\dfrac{M_y}{E I_y} e para deformação máxima \varepsilon_{\max}=\dfrac{c M_y}{E I_y}. Substitua nas fórmulas os valores tabulados de I_y e c da W200 \times46,1 para obter os números finais.

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