Dois motores M 1 e M 2 estão ligados em paralelo sob uma tensão de 220 \mathrm{~V}, 50 \mathrm{~Hz}. Sabendo as correntes que estes absorvem e os respectivos fatores de potência:
\begin{aligned} & I 1=20 A, \cos F 1=0.8 \\\ & I 2=30 A, \cos F 2=0.7 \end{aligned}
Calcule a corrente total e o fator de potência total.

Passo 1

O enunciado dá dois motores ligados em paralelo a uma tensão de 220\\ \text{V},\\\ 50\\ \text{Hz} e fornece para cada motor a corrente absorvida e o fator de potência (coseno do ângulo entre tensão e corrente). As informações relevantes são:
\begin{aligned} I_1 &= 20\\ \text{A}, &\cos\varphi_1 &= 0{,}8,\\[4pt] I_2 &= 30\\ \text{A}, &\cos\varphi_2 &= 0{,}7. \end{aligned}
O que o problema pede:
  1. A corrente total que sai do barramento (corrente resultante dos dois motores em paralelo).
  2. O fator de potência total do conjunto.]

Passo 2

Conceito e método (explicação didática, passo a passo):
  • Em corrente alternada, cada corrente I pode ser decomposta em duas componentes (usando fasores): a componente ativa (ou real) que está em fase com a tensão e a componente reativa (ou imaginária) que está defasada em 90^\circ.
  • A componente ativa da corrente é \;I\cos\varphi\; e representa a parte que realiza trabalho (potência ativa).
  • A componente reativa da corrente é \;I\sin\varphi\; e representa a parte associada à energia que oscila entre fonte e reatância (indutiva ou capacitiva). Para cargas indutivas (fator de potência menor que 1 e usualmente “atraso”), a componente reativa é positiva (corrente atrasada).
  • Para cargas em paralelo, as componentes ativas somam-se (escalares) e as reativas também somam-se (com sinal). Assim a corrente total em fasor é a soma vetorial:
\vec{I}_{\text{tot}} = \vec{I}_1 + \vec{I}_2.
  • Em módulo:
I_{\text{tot}}=\sqrt{(I_{R,\text{tot}})^2+(I_{X,\text{tot}})^2},
onde
I_{R,\text{tot}}=I_1\cos\varphi_1+I_2\cos\varphi_2,
I_{X,\text{tot}}=I_1\sin\varphi_1+I_2\sin\varphi_2.
  • O fator de potência total é a razão entre a componente ativa total e o módulo da corrente total:
\cos\varphi_{\text{tot}}=\frac{I_{R,\text{tot}}}{I_{\text{tot}}}.

Passo 3

Calcular \sin\varphi para cada motor (usamos a identidade \sin\varphi=\sqrt{1-\cos^2\varphi}):
\sin\varphi_1=\sqrt{1-(0{,}8)^2}=\sqrt{1-0{,}64}=\sqrt{0{,}36}=0{,}6.
\sin\varphi_2=\sqrt{1-(0{,}7)^2}=\sqrt{1-0{,}49}=\sqrt{0{,}51}\approx 0{,}714177\ldots

Passo 4

Calcular as componentes ativa e reativa de cada corrente:
Para o motor 1:
I_{R1}=I_1\cos\varphi_1=20\cdot 0{,}8=16\\ \text{A},
I_{X1}=I_1\sin\varphi_1=20\cdot 0{,}6=12\\ \text{A}.
Para o motor 2:
I_{R2}=I_2\cos\varphi_2=30\cdot 0{,}7=21\\ \text{A},
I_{X2}=I_2\sin\varphi_2=30\cdot 0{,}714177\ldots\approx 21{,}4253\\ \text{A}.

Passo 5

Somar as componentes ativas e reativas para obter as componentes totais:
I_{R,\text{tot}}=I_{R1}+I_{R2}=16+21=37\\ \text{A},
I_{X,\text{tot}}=I_{X1}+I_{X2}=12+21{,}4253\approx 33{,}4253\\ \text{A}.

Passo 6

Calcular o módulo da corrente total usando a soma vetorial (teorema de Pitágoras para as componentes real e reativa):
I_{\text{tot}}=\sqrt{(I_{R,\text{tot}})^2+(I_{X,\text{tot}})^2} =\sqrt{37^2+33{,}4253^2}.
Vamos calcular numericamente:
37^2=1369,
33{,}4253^2\approx 1117{,}25\quad(\text{aprox.}),
I_{\text{tot}}\approx\sqrt{1369+1117{,}25}=\sqrt{2486{,}25}\approx 49{,}86\\ \text{A}.

Passo 7

Calcular o fator de potência total como razão entre a componente ativa total e a corrente total:
\cos\varphi_{\text{tot}}=\frac{I_{R,\text{tot}}}{I_{\text{tot}}} =\frac{37}{49{,}86}\approx 0{,}742.
Interpretação: como as componentes reativas são positivas (correntes atrasadas), o fator de potência é do tipo “atraso” (indutivo).

Passo 8

Verificação extra (opcional, útil para prova): calcular potências com a tensão dada 220\\ \text{V}.
Potência ativa total:
P_{\text{tot}}=V\cdot I_{R,\text{tot}}=220\cdot 37=8140\\ \text{W}.
Potência aparente total:
S_{\text{tot}}=V\cdot I_{\text{tot}}=220\cdot 49{,}86\approx 10969{,}2\\ \text{VA}.
Fator de potência pela razão P/S:
\frac{P_{\text{tot}}}{S_{\text{tot}}}\approx\frac{8140}{10969{,}2}\approx 0{,}742,
o que confirma o valor calculado acima.

Resposta

\displaystyle I_{\text{total}}\approx 49{,}86\\ \text{A}
\displaystyle \cos\varphi_{\text{total}}\approx 0{,}742 (atraso)

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