Liga-se uma resistência de 40 Ohms em série com um capacitor de 50 mF , ambos alimentados por 110 V . Se a corrente no circuito for de 2 A , qual a frequência da fonte de alimentação? Qual a tensão no capacitor e na resistência?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes valores e pede as grandezas abaixo.
Dados:
R=40\\ \Omega
C=50\\ \mathrm{mF}=50\times10^{-3}\\ \mathrm{F}=0,05\\ \mathrm{F}
V_{s}=110\\ \mathrm{V}
I=2\\ \mathrm{A}
Perguntas:
  1. Qual a frequência da fonte de alimentação, f?
  2. Qual a tensão no capacitor, V_{C}?
  3. Qual a tensão na resistência, V_{R}?

Passo 2

Modelagem e ideias básicas (sem cálculos ainda).
  • Em regime senoidal linear, quando temos um resistor R em série com um capacitor C, a corrente que passa pelos dois é a mesma ( I).
  • O circuito série tem uma impedância total Z (módulo) relacionada à tensão de linha V_{s} e à corrente I por:
Z=\frac{V_{s}}{I}.
  • A impedância (módulo) de um circuito série resistor+capacitor é dada por:
Z=\sqrt{R^{2}+X_{C}^{2}},
onde X_{C} é a reatância capacitiva em módulo (valor positivo aqui).
  • A reatância capacitiva (módulo) relaciona-se com a frequência por:
X_{C}=\frac{1}{2\pi f C}.
Nos passos seguintes vamos aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calcular a impedância total Z a partir de V_{s} e I.
Fórmula:
Z=\frac{V_{s}}{I}.
Substituição e cálculo:
Z=\frac{110}{2}=55\\ \Omega.
Explicação curta: aqui usamos valores RMS usuais em problemas de corrente alternada — V_{s} e I fornecidos correspondem às magnitudes (RMS) que entram na fórmula acima.

Passo 4

Encontrar a reatância capacitiva X_{C} usando Z e R.
Fórmula:
Z^{2}=R^{2}+X_{C}^{2}\quad\Longrightarrow\quad X_{C}=\sqrt{Z^{2}-R^{2}}.
Substituindo os valores:
X_{C}=\sqrt{55^{2}-40^{2}}=\sqrt{3025-1600}=\sqrt{1425}.
Cálculo numérico:
\sqrt{1425}\approx 37{,}748\\ \Omega.
Observação didática: embora a reatância de um capacitor no domínio fasorial seja negativa ( X_{C}=-1/(\omega C)), aqui estamos usando o módulo |X_{C}| para construir a relação geométrica do triângulo de impedâncias. O sinal de avanço/atraso será tratado quando falarmos de fase.

Passo 5

Relacionar X_{C} com a frequência f e resolver para f.
Fórmula:
X_{C}=\frac{1}{2\pi f C}\quad\Longrightarrow\quad f=\frac{1}{2\pi C X_{C}}.
Converter C para farads (já feito no Passo 1): C=0,05\\ \mathrm{F}.
Substituição:
f=\frac{1}{2\pi\cdot 0{,}05\cdot 37{,}748}.
Cálculo passo a passo:
0{,}05\cdot 37{,}748=1{,}8874
2\pi\cdot 1{,}8874\approx 11{,}863
f=\frac{1}{11{,}863}\approx 0{,}08429\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando de forma razoável:
f\approx 0{,}0843\\ \mathrm{Hz}.
Comentário intuitivo: é uma frequência muito baixa — isso ocorre porque o capacitor é grande ( 50\\ \mathrm{mF}) e, para obter uma reatância do módulo \approx 37{,}7\\ \Omega, a frequência precisa ser baixa.

Passo 6

Calcular as tensões nas duas componentes sabend o valor da corrente.
Para o resistor:
Fórmula:
V_{R}=I\cdot R.
Cálculo:
V_{R}=2\cdot 40=80\\ \mathrm{V}.
Para o capacitor (módulo da tensão):
Fórmula:
V_{C}=I\cdot X_{C}.
Cálculo:
V_{C}=2\cdot 37{,}748=75{,}496\\ \mathrm{V}\approx 75{,}50\\ \mathrm{V}.
Verificação (checar consistência com V_{s} usando soma fasorial):
V_{s}=\sqrt{V_{R}^{2}+V_{C}^{2}}=\sqrt{80^{2}+75{,}496^{2}}\approx\sqrt{6400+5699{,}6}=\sqrt{12099{,}6}\approx110\\ \mathrm{V},
o que confirma os cálculos.
Explicação de fase (rápida): a tensão no resistor está em fase com a corrente; a tensão no capacitor está defasada de 90^\circ atrás da corrente. Por isso soma-se fasorialmente (teorema de Pitágoras para magnitudes no caso série RC).

Passo 7

Recapitulando e dica para prova:
  • Sempre calcule primeiro a impedância total Z=V/I.
  • Use a relação geométrica Z^{2}=R^{2}+X_{C}^{2} para achar o módulo da reatância.
  • Em seguida use X_{C}=1/(2\pi f C) para achar f.
  • Tensões em série: V_{R}=IR e V_{C}=I|X_{C}|.
    Se esquecer um passo, desenhe o triângulo de impedâncias (e o diagrama fasorial) — isso ajuda muito na prova. Força aí, você vai conseguir!

Resposta

f\approx 0{,}0843\\ \mathrm{Hz}
V_{C}\approx 75{,}50\\ \mathrm{V}
V_{R}=80\\ \mathrm{V}

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