Dois operadores hermitianos anticomutam:
\{\hat{A}, \hat{B}\}=\hat{A} \hat{B}+\hat{B} \hat{A}=0 .
É possível termos um autovetor simultâneo de \hat{A} e \hat{B}, isto é, comum a \hat{A} e \hat{B} ? Prove ou ilustre sua asserção.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Temos dois operadores Hermitianos \hat{A} e \hat{B}.
  • Eles anticometem:
\{\hat{A},\hat{B}\}=\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}=0.
  • Pergunta: é possível existir um autovetor comum a \hat{A} e \hat{B}? Ou seja, existe um vetor \ket{\psi}\neq 0 tal que
\hat{A}\ket{\psi}=a\ket{\psi},\qquad \hat{B}\ket{\psi}=b\ket{\psi}
para alguns escalares a e b?
Listagem das informações relevantes:
  • \hat{A} e \hat{B} são Hermitianos (portanto têm autovalores reais e autovetores com propriedades ortogonais quando associados a autovalores distintos).
  • A anticomutação vale globalmente: \hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}=0.
  • Queremos saber se existe \ket{\psi} não nulo simultaneamente autovetor de \hat{A} e \hat{B}, e em caso afirmativo quais restrições existem sobre os autovalores.

Passo 2

Lembrando duas propriedades importantes de operadores Hermitianos (vou explicar rapidinho para ficar claro):
  • Se \hat{O} é Hermitiano e \hat{O}\ket{\varphi}=o\ket{\varphi} então o autovalor o é real. Prova curta: \langle\varphi|\hat{O}|\varphi\rangle=o\langle\varphi|\varphi\rangle e também ( \hat{O} Hermitiano) \langle\varphi|\hat{O}|\varphi\rangle=\langle\varphi|\hat{O}|\varphi\rangle^*. Assim o=o^*, logo o\in\mathbb{R}.
  • Autovetores de \hat{O} associados a autovalores distintos são ortogonais. Prova curta: se \hat{O}\ket{\phi_1}=o_1\ket{\phi_1} e \hat{O}\ket{\phi_2}=o_2\ket{\phi_2} com o_1\neq o_2, então (o_1-o_2)\langle\phi_1|\phi_2\rangle=0, logo \langle\phi_1|\phi_2\rangle=0.
Estas propriedades serão úteis para interpretar o que a anticomutação implica.

Passo 3

Suponha que exista um autovetor comum \ket{\psi} não nulo, com
\hat{A}\ket{\psi}=a\ket{\psi},\qquad \hat{B}\ket{\psi}=b\ket{\psi},
onde a e b são escalares (reais, por hermiticidade).
Aplique a anticomutador \{\hat{A},\hat{B}\} ao vetor \ket{\psi}:
\{\hat{A},\hat{B}\}\ket{\psi}=(\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A})\ket{\psi}=\hat{A}(b\ket{\psi})+\hat{B}(a\ket{\psi}).
Como a e b são escalares, isso dá
b\,\hat{A}\ket{\psi}+a\,\hat{B}\ket{\psi}=b(a\ket{\psi})+a(b\ket{\psi})=(ab+ab)\ket{\psi}=2ab\ket{\psi}.
Por hipótese \{\hat{A},\hat{B}\}=0, logo \{\hat{A},\hat{B}\}\ket{\psi}=0. Portanto temos
2ab\ket{\psi}=0.
Como \ket{\psi}\neq 0, segue-se que
ab=0.

Passo 4

Interpretação do resultado do Passo 3: Se existe um autovetor comum \ket{\psi} com autovalores a e b, então o produto desses autovalores é zero. Ou seja, pelo menos um entre a ou b deve ser zero.
Consequência prática: não é possível ter um autovetor comum cujo autovalor em \hat{A} e em \hat{B} sejam ambos não nulos. Portanto, se ambos os operadores tiverem apenas autovalores não nulos (por exemplo em um espaço de dimensão 2, as matrizes de Pauli têm autovalores \pm1), então não existe autovetor comum.

Passo 5

Dou uma alternativa intuitiva (opcional, mas didática) que reforça a mesma conclusão:
Partimos de \hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}=0. Se \hat{A}\ket{\psi}=a\ket{\psi}, então
\hat{A}(\hat{B}\ket{\psi})=-\hat{B}(\hat{A}\ket{\psi})=-a\,\hat{B}\ket{\psi}.
Isto mostra que \hat{B}\ket{\psi} é um autovetor de \hat{A} com autovalor -a. Se além disso \ket{\psi} fosse também autovetor de \hat{B} com autovalor b\neq 0, então \hat{B}\ket{\psi}=b\ket{\psi} seria um autovetor de \hat{A} com autovalor -a igual a b\ket{\psi}, o que forçaria \ket{\psi} a ser simultaneamente autovetor de \hat{A} com autovalores a e -a; isto só é possível se a=0. Assim novamente concluímos que pelo menos um autovalor deve ser zero.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar a intuição:
  • Exemplo que ilustra impossibilidade: As matrizes de Pauli \sigma_x e \sigma_z são Hermitianas e anticometem. Seus autovalores são \pm1, nenhum é zero, portanto não há autovetor comum — consistente com a regra ab=0.
  • Exemplo que ilustra possibilidade: se \hat{B}=0 (operador nulo, Hermitiano), então \{\hat{A},\hat{B}\}=0 e qualquer autovetor de \hat{A} é também autovetor de \hat{B} (com autovalor b=0). Aqui existe autovetor comum porque um dos autovalores é zero.

Resposta

Sim, mas somente se o produto dos autovalores associados for zero; isto é, se \ket{\psi} for autovetor comum com autovalores a e b então ab=0. Em particular, não existe autovetor comum quando ambos os autovalores são não nulos.

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