Dois operadores hermitianos anticomutam:
É possível termos um autovetor simultâneo de
e
, isto é, comum a
e
? Prove ou ilustre sua asserção.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Temos dois operadores Hermitianos
e . - Eles anticometem:
- Pergunta: é possível existir um autovetor comum a
e ? Ou seja, existe um vetor tal que
para alguns escalares
e
?
Listagem das informações relevantes:
-
e são Hermitianos (portanto têm autovalores reais e autovetores com propriedades ortogonais quando associados a autovalores distintos). - A anticomutação vale globalmente:
. - Queremos saber se existe
não nulo simultaneamente autovetor de
e , e em caso afirmativo quais restrições existem sobre os autovalores.
Passo 2
Lembrando duas propriedades importantes de operadores Hermitianos (vou explicar rapidinho para ficar claro):
- Se
é Hermitiano e então o autovalor é real. Prova curta: e também ( Hermitiano) . Assim , logo . - Autovetores de
associados a autovalores distintos são ortogonais. Prova curta: se e com , então , logo .
Estas propriedades serão úteis para interpretar o que a anticomutação implica.
Passo 3
Suponha que exista um autovetor comum
não nulo, com
onde
e
são escalares (reais, por hermiticidade).
Aplique a anticomutador
ao vetor
:
Como
e
são escalares, isso dá
Por hipótese
, logo
. Portanto temos
Como
, segue-se que
Passo 4
Interpretação do resultado do Passo 3: Se existe um autovetor comum
com autovalores
e
, então o produto desses autovalores é zero. Ou seja, pelo menos um entre
ou
deve ser zero.
Consequência prática: não é possível ter um autovetor comum cujo autovalor em
e em
sejam ambos não nulos. Portanto, se ambos os operadores tiverem apenas autovalores não nulos (por exemplo em um espaço de dimensão 2, as matrizes de Pauli têm autovalores
), então não existe autovetor comum.
Passo 5
Dou uma alternativa intuitiva (opcional, mas didática) que reforça a mesma conclusão:
Partimos de
. Se
, então
Isto mostra que
é um autovetor de
com autovalor
. Se além disso
fosse também autovetor de
com autovalor
, então
seria um autovetor de
com autovalor
igual a
, o que forçaria
a ser simultaneamente autovetor de
com autovalores
e
; isto só é possível se
. Assim novamente concluímos que pelo menos um autovalor deve ser zero.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar a intuição:
- Exemplo que ilustra impossibilidade: As matrizes de Pauli
e são Hermitianas e anticometem. Seus autovalores são , nenhum é zero, portanto não há autovetor comum — consistente com a regra . - Exemplo que ilustra possibilidade: se
(operador nulo, Hermitiano), então e qualquer autovetor de é também autovetor de (com autovalor ). Aqui existe autovetor comum porque um dos autovalores é zero.
Resposta
Sim, mas somente se o produto dos autovalores associados for zero; isto é, se
for autovetor comum com autovalores
e
então
. Em particular, não existe autovetor comum quando ambos os autovalores são não nulos.