- Para uma partícula sujeita a um potencial de oscilador harmônico:
(a) Construa as integrais para
e
para os estados
e
. Dica: introduzir a variável
e a constante
. (Não é necessário calcular as integrais).
(b) Utilize o método algébrico para calcular as integrais
e
para os estados
(c) Verifique o princípio da incerteza para estes estados.
(d) Calcule
, o valor esperado da energia cinética, e
, o valor esperado da energia potencial, para ambos estados. A soma destes valores esperados é o que você esperava? Justifique.
(e) Demonstre que se a energia do estado fundamental fosse
, isto violaria o princípio da incerteza, o que explica a exergia de ponto zero.
(a) Construa as integrais para
(b) Utilize o método algébrico para calcular as integrais
(c) Verifique o princípio da incerteza para estes estados.
(d) Calcule
(e) Demonstre que se a energia do estado fundamental fosse
Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre a partícula no potencial do oscilador harmônico. Vou listar claramente o que é pedido e o que nos é dado:
-
Perguntas:
- (a) Construir as integrais que definem
para os estados e . (Dica: use e . Não é necessário calcular essas integrais.) - (b) Usar o método algébrico (operadores escalonadores) para calcular
para os estados (com ). - (c) Verificar o princípio da incerteza para esses estados.
- (d) Calcular
(energia cinética) e (energia potencial) para os estados e . Verificar se a soma é a energia esperada. - (e) Mostrar que se
isso violaria o princípio da incerteza (justificar por que existe energia de ponto zero).
- (a) Construir as integrais que definem
-
Informações / dados fornecidos e fórmulas úteis que usaremos:
- Definição da variável sem dimensão:
. - Constante recomendada:
. - Representação de momento na representação
: . - Relação diferencial ao mudar de variável:
. - Os estados fundamentais normalizados (usarei a forma conhecida) são:
onde e são os do enunciado (vou usar essas formas para construir as integrais).
- Definição da variável sem dimensão:
-
Observação: nesta etapa eu só identifiquei o pedido e os dados; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
(a) Construção das integrais para
e
. Vou escrever cada valor esperado na forma integral, trocando para a variável
para ficar conforme a dica.
Primeiro lembretes úteis (todos em
porque são quantidades matemáticas):
,
,
com e
.
Também e
.
com
Também
Agora as integrais:
- Para
:
Usando
e
, fica
Usando
e as formas de
, isso se escreve explicitamente como
ou seja, substituindo a mudança de variável e derivadas em
(lembrando o fator
):
- Para
(mesma ideia, só que ):
com a mesma substituição
e
explicitada dentro da integral.
também escrito em
usando as relações acima.
Observação final sobre (a): as integrais acima são as formas pedidas (em
), e podem ser tratadas por paridade (algumas são imediatamente zero) ou por cálculo direto, mas o enunciado pediu só a construção; portanto encerrei aqui essa parte construtiva.
Passo 3
Curto comentário didático sobre paridade (útil tanto para (a) quanto como intuição antes do método algébrico): as funções
e
têm paridade definida —
é par (função par) e
é impar (função ímpar) quando vistas como funções de
. Sempre que integrarmos sobre
um produto par vezes uma função ímpar obtemos zero. Por exemplo,
é ímpar,
é par, então
é ímpar e sua integral sobre toda a reta é zero. Isso já nos dá sem cálculo direto que
,
? Vamos conferir com o método algébrico (que é mais geral) no próximo passo; aqui só deixei a intuição de por que muitos desses termos se anulam.
Passo 4
(b) Método algébrico com operadores escalonadores — apresentação e definições (explicação passo a passo e didática):
Definimos os operadores adimensionais
e
por
Essas definições implicam (inversamente) as expressões para
e
em termos de
e
:
Explicação rápida: escrevemos
e
como combinações lineares adimensionais de
e
para simplificar cálculo de expectativas usando propriedades do número de fótons (ou de ocupação)
.
Conhecemos a comutação
e os autovalores do operador número em estados
(que aqui são nossos
):
Também as ações
Agora calculamos as expectativas pedidas em um estado
(vou escrever
mentalmente).
-
.
Mas
é proporcional a
(igual a
) que é zero (estados ortonormais diferentes são ortogonais). Mesma coisa para
. Portanto
-
.
Novamente cada termo é uma sobreposição entre
e
que é zero, então
-
. Aqui precisamos expandir:
Tomando expectativa em
, termos como
e
ligam
a
e, portanto, são zero. Restam
Usando
, obtemos
Podemos escrever de forma mais bonita:
-
. Expandimos usando :
Ao tomar expectativa, os termos com
e
desaparecem por ortogonalidade, e restam os dois outros termos. Usando de novo
e
, ficamos com
Ou escrita equivalente:
Resumo algébrico (resultados úteis para substituir nos itens seguintes):
Passo 5
Aplicando os resultados do passo anterior aos casos específicos
e
(para comparação com (a)):
- Para
(estado fundamental ):
- Para
(primeiro excitado ):
Esses valores coincidem com as simetrias e com o que as integrais do passo 2 indicavam (paridade etc.).
Passo 6
(c) Verificação do princípio da incerteza para os estados
.
Definição de desvios (variâncias):
Como
, temos
e
. Então
Cancelando fatores,
Isso satisfaz o princípio da incerteza de Heisenberg
porque
para todo
. Observação importante: para
obtemos exatamente
, ou seja, o estado fundamental é um estado de incerteza mínima.
Passo 7
(d) Valores esperados da energia cinética
e da energia potencial
, e soma:
As expressões são
Usando os resultados do passo 4,
Portanto
— cada uma é metade da energia total esperada. A soma é
que é exatamente o autovalor de energia da equação de Schrödinger para o oscilador harmônico
. Isso era esperado porque
é um autovetor do Hamiltoniano
, de modo que
deve ser igual ao respectivo autovalor. Também é um exemplo do teorema do virial para potenciais harmônicos, que manda
.
Aplicando para
e
:
-
: , soma . -
: , soma .
Passo 8
(e) Demonstração de que
violaria o princípio da incerteza (explicação física e inequação):
Começamos observando que a energia média em qualquer estado é
Se tentássemos ter
no estado fundamental, então as duas parcelas não-negativas teriam de ser simultaneamente zero. Em particular
e
, o que implica
e
, e consequentemente
. Mas isto contradiz o princípio da incerteza que exige
.
Uma forma mais elegante e quantitativa de ver o limite mínimo da energia usa a desigualdade aritmética–geométrica (AM–GM). Defina
ambos não-negativos. Então pela AM–GM
Mas
onde usei primeiro que
e
, e depois o princípio da incerteza
. Portanto
Isto mostra que a energia mínima possível é
; qualquer hipótese
violaria a desigualdade e, assim, o princípio da incerteza. É por isso que existe energia de ponto zero (zero-point energy) no oscilador harmônico.
Resposta
(a) Para
e
com
e
:
(b) Para
(qualquer
):
(c) Incerteza:
com igualdade para
.
(d) Energias cinética e potencial:
Soma:
conforme esperado.
(e) Se
então
e
, violando
. Pelo argumento com AM–GM,
, logo o mínimo permitido é
(energia de ponto zero).