- Calcule
para o
-ésimo estado estacionário do poço quadrado infinito. Verifique que
. Qual autoestado (autofunção) chega mais próximo ao limite mínimo do produto das incertezas
?
- Uma partícula em um poço quadrado infinito parte de uma condição inicial que é uma combinação linear dos dois primeiros estados estacionários (o estado fundamental e o primeiro estado excitado) - não é necessário realizar nenhuma integral:
(a) Normalize
.
(b) Encontre
e
. Expresse
como uma função senoidal no tempo. Para simplificar a notação, defina
.
(c) Calcule
. Note que o valor esperado oscila no tempo (isto é,
não é um estado estacionário). Qual a frequência angular da oscilação? Qual a amplitude da oscilação?
(d) Calcule $\langle p\rangle.
(b) Encontre
(c) Calcule
(d) Calcule $\langle p\rangle.
Passo 1
O enunciado pede várias quantidades para o poço quadrado infinito e depois trata de uma combinação linear dos dois primeiros autoestados. Vou listar claramente o que é pedido e quais informações temos:
-
Parte 1: Para o
-ésimo estado estacionário do poço infinito (baseado no intervalo ): - Calcular
. - Calcular
. - Calcular
. - Calcular
. - Calcular
e (desvios-padrão). - Verificar que
. - Indicar qual autofunção chega mais próxima ao limite mínimo do produto das incertezas.
- Calcular
-
Parte 2: A condição inicial éAs perguntas:
(a) Normalizar.
(b) Encontrare . Expressar como função senoidal no tempo; usar .
(c) Calcular(mostrar que oscila); dizer frequência angular e amplitude.
(d) Calcular.
Dados úteis que vamos usar (do próprio poço infinito no intervalo
):
- Autofunções normalizadas:
- Autovalores de energia:
A partir daqui começa a resolução passo a passo.
Passo 2
Definir operadores e médias que usaremos e lembrar fórmulas básicas.
- O operador momento na representação
é . - Para qualquer estado
, a média de um operador é
- Para autovalores de energia sabemos que
e que dentro do poço o potencial é zero, logo a energia é cinética e vale
Essas fórmulas simplificam muito o cálculo de
.
Passo 3
Calcular
para o
-ésimo estado estacionário.
- Como
é simétrica em torno de (a densidade é simétrica), a média de é o centro do poço:
- Comentário didático: aqui não precisei integrar porque a densidade é simétrica; se preferir ver por integral, dá o mesmo resultado.
Passo 4
Calcular
para o
-ésimo estado.
- Escrevemos a integral explicitamente usando
e a identidade :
- A primeira integral é trivial:
- Para a segunda integral usamos a antiderivada
avaliada de
a
. Aqui
. Ao avaliar em
temos
e
. Em
todos os termos que envolvem
são zero e
,
. Assim o resultado da integral é
- Dividindo por
(lembre o fator fora da integral),
- Portanto
Passo 5
Calcular
a partir de
e
.
- A variância é
. Substituindo:
- Logo o desvio-padrão é
- Observação didática: o termo
aparece como a variância de uma distribuição uniforme em (que tem variância ); o outro termo é correção quântica que decresce como .
Passo 6
Calcular
e
para o
-ésimo estado.
- As autofunções
podem ser escolhidas reais (as dadas são reais), portanto
Para funções reais essa integral é pura imaginária com simetria que zera, de modo que
- Para
usamos a relação com a energia cinética (dentro do poço potencial zero):
- Assim o desvio-padrão em
é
Passo 7
Calcular o produto
e verificar o princípio da incerteza.
- Multiplicando:
- Para verificar
elevamos ao quadrado e comparamos:
Subtraindo
:
para todo
. Portanto
está verificado.
- Qual estado chega mais próximo do limite mínimo? Note que
cresce com . Assim o menor valor ocorre para . Logo o estado fundamental é o que chega mais próximo do limite entre os autoestados do poço (mas mesmo assim fica acima do limite, numericamente ).
Passo 8
Parte 2(a): Normalizar
.
- Usamos ortonormalidade
. - O quadrado da norma é
- Para normalizar
temos , isto é
(Escolhemos
real e positivo para simplicidade.)
Passo 9
Parte 2(b): Encontrar
e
. Usar
.
- Evolução temporal de cada autoestado:
com (pois ). - Com
,
- O módulo ao quadrado:
- Como
, a dependência temporal é . Substituindo as funções explícitas obtemos
- Comentário: isto mostra que a densidade de probabilidade oscila harmonicamente no tempo com frequência angular
.
Passo 10
Parte 2(c): Calcular
para a combinação linear e obter frequência e amplitude da oscilação.
- Usamos a expansão em autoestados; com coeficientes
temos, em geral,
- Aqui os termos diagonais (
) dão . - Os termos não diagonais produzem a oscilação:
onde definimos
.
- Calcular
:
Usando
,
A antiderivada
leva, ao avaliar entre
e
(com
,
), ao resultado
- Portanto
- Assim a oscilação tem:
- frequência angular
, - amplitude
.
- frequência angular
- Observação empática: a média de
oscila em torno do centro ; isso mostra que a combinação dos dois primeiros estados não é estacionária — a densidade e as médias mudam no tempo.
Passo 11
Parte 2(d): Calcular
.
- Podemos usar o teorema de Ehrenfest no caso do poço (dentro da região onde o potencial é zero):
- Já temos
. Diferenciando:
(Usamos
para escrevê-lo de forma compacta.)
- Então
- Substituindo
e simplificando com encontramos:
Agora usar
para simplificar:
- Resultado final compacto:
Resposta
Parte 1 (estado
):
Verificação do princípio: .
O estado que chega mais próximo do limite é (o estado fundamental).
Verificação do princípio:
O estado que chega mais próximo do limite é
Parte 2 (com
e
):
(a) .
(b) .
.
(c) . Frequência angular da oscilação:
. Amplitude:
.
(d) .
(a)
(b)
(c)
(d)