Dadas duas retas reversas
e
, construa por
um plano paralelo a
.
Passo 1
O enunciado dá duas retas reversas
e
.
O que se pede: construir, passando por , um plano que seja paralelo a
.
Informações relevantes fornecidas:
O que se pede: construir, passando por
Informações relevantes fornecidas:
-
e são retas reversas (ou seja, não são paralelas entre si e não se intersectam; estão em posições não coplanares). - Deve-se obter um plano que contenha a reta
e ao mesmo tempo seja paralelo à reta .
Passo 2
Entender os conceitos que vamos usar (explicação didática curta e necessária).
- Retas reversas: duas retas no espaço que não se intersectam e não são paralelas. Exemplos mentais: uma reta numa mesa e outra reta vertical passando ao lado, mas deslocadas de modo que não estejam no mesmo plano.
- Plano determinado por duas retas: duas retas não paralelas que se intersectam determinam um único plano.
- Plano paralelo a uma reta: diz‑se que um plano
é paralelo a uma reta quando é paralelo a alguma reta contida em (equivalente: e não se intersectam, ou está contida em ). Em prática, se existe uma reta tal que , então .
Passo 3
Escolher um ponto
sobre a reta
.
Motivo: para construir um plano que contenha convém fixar um ponto
e a partir dele construir uma segunda reta que, junto com
, gere o plano.
Motivo: para construir um plano que contenha
Passo 4
Construir a reta
que passa por
e é paralela a
.
Explicação e justificativa teórica: por um ponto exterior a uma reta existe uma e apenas uma reta paralela àquela reta (postulado euclidiano de paralelismo). Assim existe uma única reta tal que
e
. Geometricamente, pensa-se em copiar a direção de
passando-a para
; em termos vetoriais, se
é um vetor diretor de
, então
é a reta que passa por
com vetor diretor
.
Explicação e justificativa teórica: por um ponto exterior a uma reta existe uma e apenas uma reta paralela àquela reta (postulado euclidiano de paralelismo). Assim existe uma única reta
Passo 5
Verificar que
e
não são paralelas (caso contrário não formariam plano único).
Observação: e
são dadas como reversas, isto é,
não é paralela a
. Como
foi construída paralela a
, segue que
não é paralela a
. Portanto
e
são duas retas que se intersectam em
(intersectam-se em
porque
e
), logo determinam um único plano.
Observação:
Passo 6
Definir o plano
como o plano determinado pelas retas
e
.
Formalmente: é o único plano tal que
e
(duas retas concorrentes determinam um plano único).
Formalmente:
Passo 7
Mostrar que
é paralelo a
.
Raciocínio: por construção e
. Se uma reta
é paralela a uma reta
contida em um plano
, então a reta
é paralela ao plano
. Portanto
. Em palavras: a presença de uma reta no plano com a mesma direção de
garante que o plano não pode cortar
.
Raciocínio: por construção
Passo 8
Provar unicidade do plano construído (importante para saber que a construção não deixa ambiguidade).
Suponha que exista outro plano que contenha
e seja paralelo a
. Então
contém
e, por
, existe em
uma reta
tal que
. Como ambas
e
passam por
e são paralelas a
, e por um ponto existe única reta paralela a
, conclui‑se
. Assim
contém tanto
quanto
, logo
. Portanto o plano é único.
Suponha que exista outro plano
Passo 9
Resumindo a construção prática (passos para realizar):
- Escolher um ponto
em . - Traçar através de
a reta paralela a . - Tomar
como o plano determinado por e . Esse plano contém e é paralelo a . É a única solução.
Resposta
O plano
determinado por
e pela reta
que passa por um ponto
e é paralela a
(ou seja,
com
tal que
e
).