Dadas duas retas reversas r e s, construa por s um plano paralelo a r.

Passo 1

O enunciado dá duas retas reversas r e s.
O que se pede: construir, passando por s, um plano que seja paralelo a r.
Informações relevantes fornecidas:
  • r e s são retas reversas (ou seja, não são paralelas entre si e não se intersectam; estão em posições não coplanares).
  • Deve-se obter um plano que contenha a reta s e ao mesmo tempo seja paralelo à reta r.

Passo 2

Entender os conceitos que vamos usar (explicação didática curta e necessária).
  • Retas reversas: duas retas no espaço que não se intersectam e não são paralelas. Exemplos mentais: uma reta numa mesa e outra reta vertical passando ao lado, mas deslocadas de modo que não estejam no mesmo plano.
  • Plano determinado por duas retas: duas retas não paralelas que se intersectam determinam um único plano.
  • Plano paralelo a uma reta: diz‑se que um plano \pi é paralelo a uma reta r quando r é paralelo a alguma reta contida em \pi (equivalente: r e \pi não se intersectam, ou r está contida em \pi). Em prática, se existe uma reta t\subset\pi tal que t\parallel r, então \pi\parallel r.

Passo 3

Escolher um ponto A sobre a reta s.
Motivo: para construir um plano que contenha s convém fixar um ponto A\in s e a partir dele construir uma segunda reta que, junto com s, gere o plano.

Passo 4

Construir a reta t que passa por A e é paralela a r.
Explicação e justificativa teórica: por um ponto exterior a uma reta existe uma e apenas uma reta paralela àquela reta (postulado euclidiano de paralelismo). Assim existe uma única reta t tal que A\in t e t\parallel r. Geometricamente, pensa-se em copiar a direção de r passando-a para A; em termos vetoriais, se \vec{u} é um vetor diretor de r, então t é a reta que passa por A com vetor diretor \vec{u}.

Passo 5

Verificar que s e t não são paralelas (caso contrário não formariam plano único).
Observação: r e s são dadas como reversas, isto é, r não é paralela a s. Como t foi construída paralela a r, segue que t não é paralela a s. Portanto s e t são duas retas que se intersectam em A (intersectam-se em A porque A\in s e A\in t), logo determinam um único plano.

Passo 6

Definir o plano \pi como o plano determinado pelas retas s e t.
Formalmente: \pi é o único plano tal que s\subset\pi e t\subset\pi (duas retas concorrentes determinam um plano único).

Passo 7

Mostrar que \pi é paralelo a r.
Raciocínio: por construção t\subset\pi e t\parallel r. Se uma reta r é paralela a uma reta t contida em um plano \pi, então a reta r é paralela ao plano \pi. Portanto r\parallel\pi. Em palavras: a presença de uma reta no plano com a mesma direção de r garante que o plano não pode cortar r.

Passo 8

Provar unicidade do plano construído (importante para saber que a construção não deixa ambiguidade).
Suponha que exista outro plano \pi' que contenha s e seja paralelo a r. Então \pi' contém s e, por \pi'\parallel r, existe em \pi' uma reta t' tal que t'\parallel r. Como ambas t e t' passam por A e são paralelas a r, e por um ponto existe única reta paralela a r, conclui‑se t'=t. Assim \pi' contém tanto s quanto t, logo \pi'=\pi. Portanto o plano é único.

Passo 9

Resumindo a construção prática (passos para realizar):
  1. Escolher um ponto A em s.
  2. Traçar através de A a reta t paralela a r.
  3. Tomar \pi como o plano determinado por s e t. Esse plano \pi contém s e é paralelo a r. É a única solução.

Resposta

O plano \pi determinado por s e pela reta t que passa por um ponto A\in s e é paralela a r (ou seja, \pi=\operatorname{pl}(s,t) com t tal que A\in t e t\parallel r).

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